基礎問題集

数学3 積分法「定積分・面積」の問題47 解説

数学3の積分法「定積分・面積」にある問題47の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。

MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。

数学3積分法定積分・面積問題47

解説

分母に $1-e^x$、分子に $e^{2x}$ があるので、$e^x$ を1つの文字とみる置換が自然である。 $t=e^x$ とおけば、$dt=e^x,dx$ となり、被積分関数は有理式に直せる。

$$ t=e^x \quad (t>0)

とおくと、

$$ dt=e^x,dx

であるから、

$$ \int \frac{e^{2x}}{1-e^x},dx =\int \frac{e^x}{1-e^x},e^x,dx =\int \frac{t}{1-t},dt

となる。

ここで、

$$ \frac{t}{1-t} =-1+\frac{1}{1-t}

と変形できるので、

$$ \int \frac{t}{1-t},dt =\int \left(-1+\frac{1}{1-t}\right),dt =-t-\log|1-t|+C

である。

最後に $t=e^x$ を戻して、

$$ -e^x-\log|1-e^x|+C

を得る。

この問題は、指数関数 $e^x$ を1つの文字とみなして置換すると、有理関数の積分に帰着する典型問題である。分子が $e^{2x}$ なので、$e^x\cdot e^x$ と見て、そのうち1つを $dt=e^x,dx$ に対応させるのがポイントである。

また、$\dfrac{t}{1-t}$ をそのまま積分しにくいと感じたら、

$$ \frac{t}{1-t}=-1+\frac{1}{1-t}

と分解すればすぐに処理できる。

$$ \int \frac{e^{2x}}{1-e^x},dx =-e^x-\log|1-e^x|+C