解説

方針・初手

$ I_n=\displaystyle \int_0^1 x^n e^{-x},dx $ であるから、$I_{n+1}$ と $I_n$ を結びつけるには部分積分が自然である。

その漸化式が得られれば、あとは初期値を求めて数学的帰納法で $I_n$ の明示式を示せばよい。

解法1

（1） 関係式

$$ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+(n+1)I_n

$$

を示す。

$ I_{n+1} $ をそのまま書くと

$$ I_{n+1}=\int_0^1 x^{n+1}e^{-x},dx

$$

である。ここで部分積分を行う。

$$ u=x^{n+1},\quad dv=e^{-x},dx

$$

とおくと、

$$ du=(n+1)x^n,dx,\quad v=-e^{-x}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} I_{n+1} &=\left[-x^{n+1}e^{-x}\right]_0^1+(n+1)\int_0^1 x^n e^{-x},dx \\ &=-\frac{1}{e}+(n+1)I_n \end{aligned}

$$

となる。よって示された。

**(2)**

$$ I_n=\frac{n!}{e}\left(e-1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}\right)

$$

を示す。

まず初期値を求める。

$$ \begin{aligned} I_1 &=\int_0^1 x e^{-x},dx \\ &=\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\int_0^1 e^{-x},dx \\ &=-\frac{1}{e}+\left[-e^{-x}\right]_0^1 \\ &=-\frac{1}{e}+\left(1-\frac{1}{e}\right) \\ &=1-\frac{2}{e} \end{aligned}

$$

一方、与えられた式の右辺に $n=1$ を代入すると

$$ \frac{1!}{e}\left(e-1-\frac{1}{1!}\right)=\frac{e-2}{e}=1-\frac{2}{e}

$$

となるので、$n=1$ で成り立つ。

次に、ある自然数 $n$ について

$$ I_n=\frac{n!}{e}\left(e-1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}\right)

$$

が成り立つと仮定する。

このとき、（1） の結果より

$$ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+(n+1)I_n

$$

であるから、仮定を代入して

$$ \begin{aligned} I_{n+1} &=-\frac{1}{e}+(n+1)\cdot \frac{n!}{e}\left(e-1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}\right) \\ &=-\frac{1}{e}+\frac{(n+1)!}{e}\left(e-1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}\right) \end{aligned}

$$

となる。ここで

$$ -\frac{1}{e}=-\frac{(n+1)!}{e}\cdot \frac{1}{(n+1)!}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} I_{n+1} &=\frac{(n+1)!}{e}\left(e-1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}-\frac{1}{(n+1)!}\right) \\ &=\frac{(n+1)!}{e}\left(e-1-\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k!}\right) \end{aligned}

$$

を得る。

したがって、数学的帰納法により

$$ I_n=\frac{n!}{e}\left(e-1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}\right)

$$

がすべての自然数 $n$ について成り立つ。

解説

この問題の核は、$x^n e^{-x}$ の積分に対して部分積分を用い、指数関数の微積分のしやすさを利用して漸化式を作ることである。

（1） で得た漸化式は一次の漸化式であり、（2） はその帰納的処理にあたる。初期値として $I_1$ を求めておけば、仮定から $I_{n+1}$ へ進める形がきれいに作れる。

特に、最後に現れる $-\dfrac{1}{e}$ を

$$ -\frac{(n+1)!}{e}\cdot \frac{1}{(n+1)!}

$$

と見て和の中に取り込むのが要点である。

答え

**(1)**

$$ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+(n+1)I_n

$$

**(2)**

$$ I_n=\frac{n!}{e}\left(e-1-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}\right)

$$

である。