解説

方針・初手

部分積分を用いると $I_n$ と $I_{n-1}$ の関係式が得られる。 その関係式を使って $a_n=e(n!-I_n)$ の漸化式に直し、最後に $I_5$ を求める。

解法1

**(1)**

$I_0$ を求める。

$$ I_0=\int_0^1 e^{-x},dx=\left[-e^{-x}\right]_0^1=1-\frac{1}{e}

$$

したがって、

$$ I_0=1-\frac{1}{e}

$$

**(2)**

$n\geqq 1$ のとき、$I_n$ を $I_{n-1}$ で表す。

$$ I_n=\int_0^1 x^n e^{-x},dx

$$

ここで部分積分を行う。 $u=x^n,\ dv=e^{-x}dx$ とすると、

$$ du=nx^{n-1}dx,\quad v=-e^{-x}

$$

より、

$$ \begin{aligned} I_n &=\left[-x^n e^{-x}\right]*0^1+n\int_0^1 x^{n-1}e^{-x},dx \\ &=-\frac{1}{e}+nI*{n-1} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ I_n=nI_{n-1}-\frac{1}{e}

$$

**(3)**

$a_n=e(n!-I_n)$ とおくとき、$a_n$ の漸化式を求める。

（2） の結果を用いると、

$$ I_n=nI_{n-1}-\frac{1}{e}

$$

なので、

$$ \begin{aligned} a_n &=e(n!-I_n) \\ &=e\left(n!-\left(nI_{n-1}-\frac{1}{e}\right)\right) \\ &=en!-enI_{n-1}+1 \end{aligned}

$$

一方、

$$ a_{n-1}=e\bigl((n-1)!-I_{n-1}\bigr)

$$

であるから、両辺に $n$ をかけると

$$ na_{n-1}=en!-enI_{n-1}

$$

したがって、

$$ a_n=na_{n-1}+1

$$

また初項は、

$$ \begin{aligned} a_0 &=e(0!-I_0) \\ &=e\left(1-\left(1-\frac{1}{e}\right)\right)=1 \end{aligned}

$$

よって、

$$ a_0=1,\quad a_n=na_{n-1}+1\quad (n\geqq 1)

$$

**(4)**

$I_5$ を求める。

まず漸化式で $a_n$ を求める。

$$ a_0=1

$$

より、

$$ \begin{aligned} a_1&=1\cdot a_0+1=2 \\ a_2&=2\cdot a_1+1=5 \\ a_3&=3\cdot a_2+1=16 \\ a_4&=4\cdot a_3+1=65 \\ a_5&=5\cdot a_4+1=326 \end{aligned}

$$

ここで $a_5=e(5!-I_5)$ だから、

$$ 326=e(120-I_5)

$$

よって、

$$ I_5=120-\frac{326}{e}

$$

解説

この問題の中心は部分積分である。 $\int x^n e^{-x}dx$ では、$x^n$ を微分して次数を下げるのが自然であり、これにより $I_n$ を $I_{n-1}$ で表せる。

さらに $a_n=e(n!-I_n)$ とおくと、$-\frac{1}{e}$ がうまく消えて整数係数の漸化式

$$ a_n=na_{n-1}+1

$$

に変わる。ここがこの問題の工夫である。

答え

**(1)**

$$ I_0=1-\frac{1}{e}

$$

**(2)**

$$ I_n=nI_{n-1}-\frac{1}{e}\quad (n\geqq 1)

$$

**(3)**

$$ a_0=1,\quad a_n=na_{n-1}+1\quad (n\geqq 1)

$$

**(4)**

$$ I_5=120-\frac{326}{e}

$$