基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題50 解説
数学3の積分法「定積分・面積」にある問題50の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$\log x$ が三角関数の中に入っているので、そのままでは積分しにくい。 そこで
$$ t=\log x
$$
とおいて、$dx$ を $dt$ で表す。$\log x$ が定義されるのは $x>0$ のときである。
解法1
$$ t=\log x
$$
とおくと、
$$ x=e^t,\qquad dx=e^t,dt
$$
である。したがって
$$ \int \sin(\log x),dx =\int e^t\sin t,dt
$$
となる。
ここで
$$ I=\int e^t\sin t,dt
$$
とおく。部分積分を2回行う。
まず
$$ I=\int e^t\sin t,dt =e^t\sin t-\int e^t\cos t,dt
$$
となる。ここで
$$ J=\int e^t\cos t,dt
$$
とおくと、
$$ J=e^t\cos t+\int e^t\sin t,dt =e^t\cos t+I
$$
である。これを先ほどの式に代入すると、
$$ I=e^t\sin t-(e^t\cos t+I)
$$
すなわち
$$ 2I=e^t(\sin t-\cos t)
$$
だから
$$ I=\frac{e^t}{2}(\sin t-\cos t)+C
$$
を得る。
最後に $t=\log x,\ e^t=x$ を戻せば、
$$ \int \sin(\log x),dx =\frac{x}{2}\bigl(\sin(\log x)-\cos(\log x)\bigr)+C
$$
となる。
解説
$\sin(\log x)$ のように対数の合成関数が現れたときは、まず $t=\log x$ とおくのが基本である。 この置換により $dx=e^t,dt$ となって、積分は $\int e^t\sin t,dt$ に帰着される。
あとは $e^t\sin t$ や $e^t\cos t$ の積分でよくあるように、部分積分を2回行って元の積分に戻す処理をすればよい。
答え
$$ \int \sin(\log x),dx =\frac{x}{2}\bigl(\sin(\log x)-\cos(\log x)\bigr)+C
$$
ただし、$x>0$ である。