解説

方針・初手

有理関数の不定積分が有理式で表されるのは，部分分数分解したときに $\dfrac{1}{x-\alpha}$ 型の項が現れないときに限る。

この問題では $c+d=4,\ c\le d$ より，まず （i） $c<d$ と （ii） $c=d$ に分ける。 （i） では原始関数の形を先に決めて係数比較を行うのが最も簡潔である。

解法1

**(i)**

$c<d$ の場合

$c,d$ は $0,1,2,3,4$ の整数で，さらに $c+d=4,\ c<d$ を満たすから，

$$ (c,d)=(0,4),\ (1,3)

$$

の2通りしかない。

ここで，不定積分が有理式で表されるとする。その原始関数を $F(x)$ とおく。 $f(x)$ は $x=c,d$ において高々2位の極しかもたないので，$F(x)$ は $x=c,d$ に単純極しかもたず，しかも無限遠で有界である。したがって

$$ F(x)=\frac{px+q}{(x-c)(x-d)}

$$

とおける。

これを微分すると，

$$ \begin{aligned} F'(x) &=\frac{p(x-c)(x-d)-(px+q){(x-d)+(x-c)}}{(x-c)^2(x-d)^2} \\ &=\frac{p(x^2-(c+d)x+cd)-(px+q)(2x-(c+d))}{(x-c)^2(x-d)^2} \end{aligned}

$$

ここで $c+d=4$ を用いると，

$$ F'(x) =\frac{-p x^2-2q x+(pcd+4q)}{(x-c)^2(x-d)^2}

$$

となる。

一方，

$$ f(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(x-c)^2(x-d)^2} =\frac{x^2-(a+b)x+ab}{(x-c)^2(x-d)^2}

$$

であるから，分子を比較して

$$ -p=1,\qquad -2q=-(a+b),\qquad pcd+4q=ab

$$

を得る。

前2式から

$$ p=-1,\qquad q=\frac{a+b}{2}

$$

であり，これを第3式に代入すると

$$ -cd+2(a+b)=ab

$$

すなわち

$$ ab-2a-2b+cd=0

$$

である。さらに整理して

$$ (a-2)(b-2)=4-cd

$$

を得る。

ここで $cd$ の値ごとに調べる。

**(ア)**

$(c,d)=(0,4)$ のとき

$$ cd=0

$$

なので，

$$ (a-2)(b-2)=4

$$

である。$a,b\in{0,1,2,3,4}$ より，この条件を満たすのは

$$ (a,b)=(0,0),\ (4,4)

$$

のみである。

したがってこの場合の解は

$$ (0,0,0,4),\ (4,4,0,4)

$$

である。

**(イ)**

$(c,d)=(1,3)$ のとき

$$ cd=3

$$

なので，

$$ (a-2)(b-2)=1

$$

である。これを満たすのは

$$ (a,b)=(1,1),\ (3,3)

$$

のみである。

したがってこの場合の解は

$$ (1,1,1,3),\ (3,3,1,3)

$$

である。

以上より，$c<d$ の場合の解は

$$ (0,0,0,4),\ (4,4,0,4),\ (1,1,1,3),\ (3,3,1,3)

$$

である。

**(ii)**

$c=d$ の場合

$c+d=4$ より

$$ c=d=2

$$

である。このとき

$$ f(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(x-2)^4}

$$

となる。

分子を $x-2$ で整理すると，

$$ (x-a)(x-b)={(x-2)+(2-a)}{(x-2)+(2-b)}

$$

であるから，

$$ f(x) =\frac{1}{(x-2)^2} +\frac{4-a-b}{(x-2)^3} +\frac{(2-a)(2-b)}{(x-2)^4}

$$

となる。

右辺には $\dfrac{1}{x-2}$ 型の項が現れないので，不定積分は常に有理式である。実際，

$$ \begin{aligned} \int f(x),dx &= -\frac{1}{x-2} -\frac{4-a-b}{2(x-2)^2} -\frac{(2-a)(2-b)}{3(x-2)^3} +C \end{aligned} $$

である。

したがって $c=d=2$ の場合は，$a,b$ の値に制限はなく，

$$ a,b\in{0,1,2,3,4}

$$

のすべてが許される。

解説

この問題の要点は，「有理関数の積分で対数が出るのは単純極があるときだけ」である。

$c<d$ の場合は，原始関数の分母が $(x-c)(x-d)$ の形になると見抜ければ，微分して係数比較するだけで条件が一気に求まる。 一方，$c=d=2$ の場合は極が4位になるので，もともと $\dfrac{1}{x-2}$ の項が出ず，すべての $a,b$ で積分が有理式になる。この場合を落とすと不完全解になる。

答え

求める組は

$$ (a,b,c,d)=(a,b,2,2)\qquad (a,b\in{0,1,2,3,4})

$$

および

$$ (0,0,0,4),\quad (4,4,0,4),\quad (1,1,1,3),\quad (3,3,1,3)

$$

のすべてである。