解説

方針・初手

$f(x)$ と $g(x)$ のうちどちらが大きいかを決めるには、差 $f(x)-g(x)$ の符号を調べればよい。

この差がうまく因数分解できるので、まずそこを確認し、区間 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ での符号変化を整理してから積分する。

解法1

まず

$$ f(x)-g(x) =(\sin 2x-\sin x)-\left(\cos x-\frac12\right) =2\sin x\cos x-\sin x-\cos x+\frac12

$$

である。

ここで

$$ 2\sin x\cos x-\sin x-\cos x+\frac12 =(2\cos x-1)\left(\sin x-\frac12\right)

$$

と因数分解できる。

したがって

$$ f(x)-g(x)=(2\cos x-1)\left(\sin x-\frac12\right)

$$

である。

$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において、$\sin x$ は単調増加、$\cos x$ は単調減少だから、

$$ 2\cos x-1=0 \iff \cos x=\frac12 \iff x=\frac{\pi}{3},

$$

$$ \sin x-\frac12=0 \iff \sin x=\frac12 \iff x=\frac{\pi}{6}

$$

となる。

よって符号は次のようになる。

**(i)**

$0\leqq x<\dfrac{\pi}{6}$ では $;2\cos x-1>0,\ \sin x-\dfrac12<0$ であるから

$$ f(x)-g(x)<0

$$

したがって $g(x)>f(x)$ であり、この区間では $h(x)=g(x)$ である。

**(ii)**

$\dfrac{\pi}{6}<x<\dfrac{\pi}{3}$ では $;2\cos x-1>0,\ \sin x-\dfrac12>0$ であるから

$$ f(x)-g(x)>0

$$

したがって $f(x)>g(x)$ であり、この区間では $h(x)=f(x)$ である。

**(iii)**

$\dfrac{\pi}{3}<x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $;2\cos x-1<0,\ \sin x-\dfrac12>0$ であるから

$$ f(x)-g(x)<0

$$

したがって $g(x)>f(x)$ であり、この区間では $h(x)=g(x)$ である。

以上より、

$$ h(x)= \begin{cases} g(x) & \left(0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{6}\right),\\ f(x) & \left(\dfrac{\pi}{6}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{3}\right),\\ g(x) & \left(\dfrac{\pi}{3}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}\right) \end{cases}

$$

となる。

したがって求める積分は

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}h(x),dx &= \int_0^{\pi/6}g(x),dx + \int_{\pi/6}^{\pi/3}f(x),dx + \int_{\pi/3}^{\pi/2}g(x),dx \end{aligned} $$

である。

それぞれ計算する。

まず

$$ \int g(x),dx =\int \left(\cos x-\frac12\right),dx =\sin x-\frac{x}{2}

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/6}g(x),dx &= \left[\sin x-\frac{x}{2}\right]_0^{\pi/6} \\ \frac12-\frac{\pi}{12}. \end{aligned} $$

次に

$$ \int f(x),dx =\int (\sin 2x-\sin x),dx =-\frac12\cos 2x+\cos x

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_{\pi/6}^{\pi/3}f(x),dx &= \left[-\frac12\cos 2x+\cos x\right]_{\pi/6}^{\pi/3}. \end{aligned} $$

各値を代入すると、

$$ -\frac12\cos\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3} =\frac14+\frac12=\frac34,

$$

$$ -\frac12\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{6} =-\frac14+\frac{\sqrt3}{2}.

$$

よって

$$ \begin{aligned} \int_{\pi/6}^{\pi/3}f(x),dx &= \frac34-\left(-\frac14+\frac{\sqrt3}{2}\right) \\ 1-\frac{\sqrt3}{2}. \end{aligned} $$

最後に

$$ \begin{aligned} \int_{\pi/3}^{\pi/2}g(x),dx &= \left[\sin x-\frac{x}{2}\right]_{\pi/3}^{\pi/2} \\ \left(1-\frac{\pi}{4}\right)-\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}\right) \\ 1-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{12}. \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}h(x),dx &= \left(\frac12-\frac{\pi}{12}\right) +\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right) +\left(1-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{12}\right). \end{aligned} $$

これをまとめて

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}h(x),dx &= \frac52-\sqrt3-\frac{\pi}{6}. \end{aligned} $$

解説

この問題の要点は、$f(x)$ と $g(x)$ を別々に眺めるのではなく、差 $f(x)-g(x)$ を調べて大小関係を直接決めることである。

しかも

$$ f(x)-g(x)=(2\cos x-1)\left(\sin x-\frac12\right)

$$

ときれいに因数分解できるので、$\sin x=\dfrac12,\ \cos x=\dfrac12$ となる点、すなわち $x=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{3}$ が境目になることがすぐ分かる。

大小関係を先に正確に区切ってから積分するのが標準的な処理である。

答え

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}h(x),dx &= \frac52-\sqrt3-\frac{\pi}{6} \end{aligned} $$