解説

方針・初手

（1） は $\dfrac{1}{\cos x}=\sec x$ とみて基本積分を用いる。

（2） は $\dfrac{1}{\cos^3 x}=\sec^3 x$ であるから、$\sec x\cdot \sec^2 x$ と分けて部分積分する。

（3） は $\sqrt{x^2+1}$ の形なので、$x=\tan\theta$ とおくと $\sec^3\theta$ に変形でき、（2） に帰着する。

解法1

**(1)**

$$ \int \frac{dx}{\cos x}=\int \sec x,dx=\log|\sec x+\tan x|+C

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos x} &=\left[\log|\sec x+\tan x|\right]_0^{\pi/4} \\ &=\log(\sqrt{2}+1)-\log 1 \\ &=\log(\sqrt{2}+1) \end{aligned}

$$

となる。

**(2)**

$$ J=\int \sec^3 x,dx

$$

とおく。これを部分積分すると、

$$ \begin{aligned} J &=\int \sec x\cdot \sec^2 x,dx \\ &=\sec x\tan x-\int \tan x\cdot (\sec x\tan x),dx \\ &=\sec x\tan x-\int \sec x\tan^2 x,dx \end{aligned}

$$

ここで $\tan^2 x=\sec^2 x-1$ を用いると、

$$ \begin{aligned} J &=\sec x\tan x-\int \sec x(\sec^2 x-1),dx \\ &=\sec x\tan x-\int \sec^3 x,dx+\int \sec x,dx \\ &=\sec x\tan x-J+\log|\sec x+\tan x| \end{aligned}

$$

よって、

$$ 2J=\sec x\tan x+\log|\sec x+\tan x|

$$

であり、

$$ \int \sec^3 x,dx=\frac{1}{2}\left(\sec x\tan x+\log|\sec x+\tan x|\right)+C

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^3 x} &=\int_0^{\pi/4}\sec^3 x,dx \\ &=\left[\frac{1}{2}\left(\sec x\tan x+\log|\sec x+\tan x|\right)\right]_0^{\pi/4} \\ &=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\log(\sqrt{2}+1)\right) \end{aligned}

$$

となる。

**(3)**

$$ x=\tan\theta \qquad \left(0\leqq x\leqq 1\right)

$$

とおくと、$x=0$ のとき $\theta=0$、$x=1$ のとき $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ である。また、

$$ dx=\sec^2\theta,d\theta,\qquad \sqrt{x^2+1}=\sqrt{\tan^2\theta+1}=\sec\theta

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^1\sqrt{x^2+1},dx &=\int_0^{\pi/4}\sec\theta\cdot \sec^2\theta,d\theta \\ &=\int_0^{\pi/4}\sec^3\theta,d\theta \end{aligned}

$$

となる。これは （2） と同じ積分であるから、

$$ \int_0^1\sqrt{x^2+1},dx =\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\log(\sqrt{2}+1)\right)

$$

を得る。

解説

$\sec x$ の積分は基本公式として処理できる。

$\sec^3 x$ の積分は典型的な部分積分の形であり、$\tan^2 x=\sec^2 x-1$ を使って同じ積分に戻すのが要点である。

また、$\sqrt{x^2+1}$ は $x=\tan\theta$ とおくと $\sqrt{1+\tan^2\theta}=\sec\theta$ となるので、三角置換によって （2） にそのまま帰着する。この対応に気づけると計算が非常に整理される。

答え

**(1)**

$$ \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos x}=\log(\sqrt{2}+1)

$$

**(2)**

$$ \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^3 x} =\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\log(\sqrt{2}+1)\right)

$$

**(3)**

$$ \int_0^1\sqrt{x^2+1},dx =\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\log(\sqrt{2}+1)\right)

$$