解説

方針・初手

（1） 被積分関数は $\dfrac{1}{\cos x}=\sec x$ である。$\sec x$ の原始関数として $\log(\sec x+\tan x)$ を用いればよい。

（2） 分子を対数の性質で整理すると

$$ \log(n^2+2n+1)-\log n^2 =\log (n+1)^2-\log n^2 =2\log\left(1+\frac{1}{n}\right)

$$

となる。したがって，和全体を $2n\log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$ とリーマン和の積に直して考える。

解法1

**(1)**

求める積分を $I$ とすると，

$$ I=\int_0^{\pi/3}\frac{1}{\cos x},dx =\int_0^{\pi/3}\sec x,dx

$$

である。$\sec x$ の原始関数は

$$ \int \sec x,dx=\log(\sec x+\tan x)+C

$$

であるから，

$$ I=\left[\log(\sec x+\tan x)\right]_0^{\pi/3}

$$

となる。ここで，

$$ \sec\frac{\pi}{3}=2,\qquad \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3},\qquad \sec 0=1,\qquad \tan 0=0

$$

より，

$$ I=\log(2+\sqrt{3})-\log 1 =\log(2+\sqrt{3})

$$

である。

**(2)**

与えられた極限を

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{\log(n^2+2n+1)-\log n^2}{3\cos\left(\frac{\pi}{3n}k\right)}

$$

とおく。

まず，分子は

$$ \log(n^2+2n+1)-\log n^2 =2\log\left(1+\frac{1}{n}\right)

$$

であるから，

$$ S_n =2\log\left(1+\frac{1}{n}\right) \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3\cos\left(\frac{\pi}{3n}k\right)}

$$

となる。ここで $n$ を掛けて割ると，

$$ \begin{aligned} S_n &= 2n\log\left(1+\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3\cos\left(\frac{\pi}{3n}k\right)} \end{aligned} $$

と書ける。

まず第1因子については，

$$ \begin{aligned} n\log\left(1+\frac{1}{n}\right) &= \log\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{aligned} $$

であるから，条件 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$ より

$$ \lim_{n\to\infty}n\log\left(1+\frac{1}{n}\right) =\log e=1

$$

したがって，

$$ \lim_{n\to\infty}2n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)=2

$$

である。

次に第2因子について考える。関数

$$ f(x)=\frac{1}{3\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right)}

$$

は $0\leqq x\leqq 1$ で連続である。よって，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3\cos\left(\frac{\pi}{3n}k\right)} &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \to \int_0^1 f(x),dx \end{aligned} $$

である。したがって，

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3\cos\left(\frac{\pi}{3n}k\right)} &= \int_0^1 \frac{1}{3\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right)},dx \end{aligned} $$

となる。ここで $t=\dfrac{\pi}{3}x$ とおくと $dx=\dfrac{3}{\pi}dt$ であるから，

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{3\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right)},dx &= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi/3}\frac{1}{\cos t},dt \end{aligned} $$

となる。（1） より

$$ \int_0^{\pi/3}\frac{1}{\cos t},dt=\log(2+\sqrt{3})

$$

であるから，

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3\cos\left(\frac{\pi}{3n}k\right)} &= \frac{1}{\pi}\log(2+\sqrt{3}) \end{aligned} $$

を得る。

以上より，

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}S_n &= 2\cdot \frac{1}{\pi}\log(2+\sqrt{3}) \\ \frac{2\log(2+\sqrt{3})}{\pi} \end{aligned} $$

である。

解説

（1） は $\sec x$ の基本積分である。

（2） の本質は，分子が $2\log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$ となり，これはおよそ $\dfrac{2}{n}$ に相当するという点である。そのため，和全体を「極限が分かる係数」と「連続関数のリーマン和」に分解できる。

また，（1） で求めた積分値が，（2） の極限計算でそのまま再利用される構成になっている。

答え

**(1)**

$$ \log(2+\sqrt{3})

$$

**(2)**

$$ \frac{2\log(2+\sqrt{3})}{\pi}

$$