解説

方針・初手

与えられた式は

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(4+\frac{k}{n}\right)^2

$$

であり、$\Delta x=\dfrac{1}{n}$、$x_k=\dfrac{k}{n}$ とみると、区間 $[0,1]$ における関数 $(4+x)^2$ のリーマン和になっている。したがって、まず定積分に直すのが最も自然である。

解法1

$x_k=\dfrac{k}{n}$、$\Delta x=\dfrac{1}{n}$ とおくと、

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(4+\frac{k}{n}\right)^2 = \sum_{k=1}^{n}\left(4+x_k\right)^2\Delta x

$$

となる。

ここで、$n\to\infty$ のとき、これは関数 $y=(4+x)^2$ の区間 $[0,1]$ における定積分に収束するから、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(4+\frac{k}{n}\right)^2 = \int_0^1 (4+x)^2\,dx

$$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 (4+x)^2\,dx &= \int_0^1 (x^2+8x+16)\,dx \\ &= \left[\frac{x^3}{3}+4x^2+16x\right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3}+4+16 \\ &= \frac{61}{3} \end{aligned}

$$

したがって、求める極限は

$$ \frac{61}{3}

$$

である。

解法2

式を展開して和の公式で直接計算する。

$$ \left(4+\frac{k}{n}\right)^2 = 16+\frac{8k}{n}+\frac{k^2}{n^2}

$$

よって、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(4+\frac{k}{n}\right)^2 &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}16 + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{8k}{n} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{n^2} \end{aligned}

$$

すなわち、

$$ 16+\frac{8}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k+\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2

$$

ここで、

$$ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} 16+\frac{8}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k+\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2 &= 16+\frac{8}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2} +\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &= 16+4\frac{n+1}{n}+\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} \end{aligned}

$$

$n\to\infty$ とすると、

$$ 16+4+\frac{2}{6} = 20+\frac{1}{3} = \frac{61}{3}

$$

したがって、求める極限は

$$ \frac{61}{3}

$$

である。

解説

この問題の本質は、和の形を見てリーマン和と判断できるかどうかである。

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)

$$

という形は、基本的に

$$ \int_0^1 f(x)\,dx

$$

に対応する。したがって、$\dfrac{k}{n}$ を $x$、$\dfrac{1}{n}$ を $\Delta x$ と読む視点が重要である。

一方で、展開して和の公式で押し切ることもできる。こちらは確実ではあるが、リーマン和を見抜けるなら積分に直すほうが速い。

答え

$$ \frac{61}{3}

$$