解説

方針・初手

媒介変数表示された曲線の長さは

$$ L=\int \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2},dt

$$

で求める。

また、この曲線は

$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta

$$

と見れば $r=e^{-t},\ \theta=t$ を満たすので、極方程式 $r=e^{-\theta}$ として扱うのが面積計算の近道である。

解法1

（1） 曲線 $C$ の長さを求める。

与えられた媒介表示は

$$ x=e^{-t}\cos t,\quad y=e^{-t}\sin t \qquad \left(0\le t\le \frac{\pi}{2}\right)

$$

であるから、

$$ \frac{dx}{dt}=-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t=-e^{-t}(\cos t+\sin t)

$$

$$ \frac{dy}{dt}=-e^{-t}\sin t+e^{-t}\cos t=e^{-t}(\cos t-\sin t)

$$

となる。

したがって、速さは

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} =e^{-t}\sqrt{(\cos t+\sin t)^2+(\cos t-\sin t)^2}

$$

であり、

$$ (\cos t+\sin t)^2+(\cos t-\sin t)^2 =2(\cos^2 t+\sin^2 t)=2

$$

より

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} =\sqrt{2},e^{-t}

$$

である。

よって

$$ L=\int_0^{\pi/2}\sqrt{2},e^{-t},dt =\sqrt{2}\left[-e^{-t}\right]_0^{\pi/2} =\sqrt{2}\left(1-e^{-\pi/2}\right)

$$

となる。

（2） 曲線 $C$ と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

この曲線では

$$ x=e^{-t}\cos t,\quad y=e^{-t}\sin t

$$

であるから、極座標で見れば

$$ r=\sqrt{x^2+y^2}=e^{-t},\qquad \tan\theta=\frac{y}{x}=\tan t

$$

となる。ここで $0\le t\le \dfrac{\pi}{2}$ であるから $\theta=t$ とみてよい。したがって、曲線 $C$ は極方程式

$$ r=e^{-\theta}\qquad \left(0\le \theta\le \frac{\pi}{2}\right)

$$

を表す。

よって、求める領域は

$$ 0\le \theta\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le r\le e^{-\theta}

$$

で表されるから、面積は極座標の公式より

$$ S=\frac12\int_0^{\pi/2}r^2,d\theta =\frac12\int_0^{\pi/2}e^{-2\theta},d\theta

$$

である。

これを計算すると

$$ S=\frac12\left[-\frac12e^{-2\theta}\right]_0^{\pi/2} =\frac14\left(1-e^{-\pi}\right)

$$

となる。

解説

この問題の要点は、媒介変数 $t$ がそのまま偏角 $\theta$ になっていることを見抜くことである。

長さについては、まず $\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}$ を計算して速さを求めればよい。計算すると三角関数の項がきれいに整理され、被積分関数が単純な指数関数になる。

面積については、$x$ 軸・$y$ 軸に囲まれた領域を直交座標で処理しようとすると扱いにくいが、極方程式 $r=e^{-\theta}$ と見ればそのまま

$$ \frac12\int r^2,d\theta

$$

で処理できる。ここがこの問題の中心である。

答え

**(1)**

$$ L=\sqrt{2}\left(1-e^{-\pi/2}\right)

$$

**(2)**

$$ S=\frac14\left(1-e^{-\pi}\right)

$$