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数学3 積分法「定積分・面積」の問題58 解説

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数学3積分法定積分・面積問題58

解説

被積分関数は $x^{-3}\log x$ の形であり、$\log x$ を微分すると単純になり、$x^{-3}$ は積分しやすい。したがって部分積分を用いるのが自然である。

求める積分を

$$ I=\int_1^2 \frac{\log x}{x^3},dx

とおく。

ここで

$$ u=\log x,\qquad dv=\frac{1}{x^3},dx

とすると、

$$ du=\frac{1}{x},dx,\qquad v=\int x^{-3},dx=-\frac{1}{2x^2}

である。よって部分積分により

$$ I=\left[-\frac{\log x}{2x^2}\right]_1^2-\int_1^2 \left(-\frac{1}{2x^2}\right)\frac{1}{x},dx

すなわち

$$ I=\left[-\frac{\log x}{2x^2}\right]_1^2+\frac{1}{2}\int_1^2 x^{-3},dx

となる。

さらに

$$ \int x^{-3},dx=-\frac{1}{2x^2}

であるから、

$$ I=\left[-\frac{\log x}{2x^2}\right]_1^2+\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2x^2}\right]_1^2

となる。

各項を計算すると、

$$ \left[-\frac{\log x}{2x^2}\right]_1^2 =-\frac{\log 2}{8}-0 =-\frac{\log 2}{8}

また、

$$ \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2x^2}\right]_1^2 =\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{8} =\frac{3}{16}

である。したがって

$$ I=-\frac{\log 2}{8}+\frac{3}{16} =\frac{3-2\log 2}{16}

となる。

この問題の要点は、$\log x$ をそのまま扱わず、部分積分で微分して消すことである。$\log x$ を微分すると $\dfrac{1}{x}$ になり、もとの $x^{-3}$ と合わせて $x^{-3}$ 型の単純な積分に落ちる。

また、$\log 1=0$ であるため、端点 $x=1$ での境界項が整理しやすいことも計算を軽くしている。

$$ \int_1^2 \frac{\log x}{x^3},dx=\frac{3-2\log 2}{16}