解説

方針・初手

平方根を含む関数であるが、定義域は $4-x^2\geqq 0$ より $-2\leqq x\leqq 2$ に限られる。したがって、まずこの区間で増減を調べれば最大値が分かる。

また、定積分は

$$ f(x)=(x+2)\sqrt{4-x^2}=x\sqrt{4-x^2}+2\sqrt{4-x^2}

$$

と分けると、前半は置換積分、後半は基本公式で処理できる。

解法1

定義域は

$$ -2\leqq x\leqq 2

$$

である。

（1） 最大値

$f(x)=(x+2)\sqrt{4-x^2}$ を微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\sqrt{4-x^2}+(x+2)\cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} \\ &=\sqrt{4-x^2}-\frac{x(x+2)}{\sqrt{4-x^2}} \\ &=\frac{4-x^2-x(x+2)}{\sqrt{4-x^2}} \\ &=\frac{4-2x^2-2x}{\sqrt{4-x^2}} \\ &=\frac{-2(x+2)(x-1)}{\sqrt{4-x^2}} \end{aligned}

$$

ここで $-2<x<2$ では $\sqrt{4-x^2}>0$ であり、また $x+2>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $-(x-1)$ の符号で決まる。

したがって、

• $-2<x<1$ で $f'(x)>0$
• $1<x<2$ で $f'(x)<0$

となるので、$f(x)$ は $x=1$ で最大となる。

その値は

$$ f(1)=(1+2)\sqrt{4-1}=3\sqrt{3}

$$

である。

よって、最大値は

$$ 3\sqrt{3}

$$

である。

**(2)**

$\displaystyle \int_1^2 f(x),dx$ の値

まず積分を分ける。

$$ \int_1^2 f(x),dx =\int_1^2 x\sqrt{4-x^2},dx+2\int_1^2 \sqrt{4-x^2},dx

$$

第1項を求める。$u=4-x^2$ とおくと $du=-2x,dx$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_1^2 x\sqrt{4-x^2},dx &=-\frac12\int_3^0 \sqrt{u},du \\ &=\frac12\int_0^3 u^{1/2},du \\ &=\frac12\cdot \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_0^3 \\ &=\frac13\cdot 3\sqrt{3} =\sqrt{3} \end{aligned}

$$

第2項は公式

$$ \int \sqrt{a^2-x^2},dx =\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C

$$

を $a=2$ として用いると、

$$ \int \sqrt{4-x^2},dx =\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\arcsin\frac{x}{2}+C

$$

ゆえに

$$ \begin{aligned} \int_1^2 \sqrt{4-x^2},dx &=\left[\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\arcsin\frac{x}{2}\right]_1^2 \\ &=\left(0+2\cdot \frac{\pi}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{\pi}{6}\right) \\ &=\pi-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{3} \\ &=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ 2\int_1^2 \sqrt{4-x^2},dx =\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}

$$

よって全体では

$$ \begin{aligned} \int_1^2 f(x),dx &=\sqrt{3}+\left(\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}\right) \\ &=\frac{4\pi}{3} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題では、まず定義域を確認したうえで微分による増減を調べるのが基本である。$f'(x)$ は因数分解すると符号判定が非常にしやすくなり、最大となる点がすぐに分かる。

また、定積分は $(x+2)\sqrt{4-x^2}$ をそのまま扱うより、$x\sqrt{4-x^2}$ と $2\sqrt{4-x^2}$ に分けるのが有効である。前者は置換積分、後者は半円の積分公式で処理でき、最後に $\sqrt{3}$ が打ち消し合ってきれいな値になる。

答え

**(1)**

$f(x)$ の最大値は

$$ 3\sqrt{3}

$$

である。

**(2)**

$$ \int_1^2 f(x),dx=\frac{4\pi}{3}

$$

である。