解説

方針・初手

（1） は部分積分を用いて直接計算する。

（2） は積をそのまま扱うより、対数をとって和に直すのが自然である。 すると

$$ \frac{1}{n}\log a_n

$$

がリーマン和の形になり、（1） の結果をそのまま用いることができる。

解法1

**(1)**

部分積分を用いる。 $u=\log x,\ dv=dx$ とおけば、$du=\dfrac{1}{x}dx,\ v=x$ であるから、

$$ \int \log x,dx = x\log x-\int 1,dx = x\log x-x

$$

となる。

したがって、

$$ \int_1^s \log x,dx = \left[x\log x-x\right]_1^s = (s\log s-s)-(\log 1-1)

$$

である。ここで $\log 1=0$ より、

$$ \int_1^s \log x,dx=s\log s-s+1

$$

を得る。

**(2)**

$$ a_n=(n+1)(n+2)\cdots(n+n)=\prod_{k=1}^{n}(n+k)

$$

であるから、

$$ a_n =\prod_{k=1}^{n}n\left(1+\frac{k}{n}\right) =n^n\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n}\right)

$$

となる。よって、

$$ \frac{(a_n)^{1/n}}{n} =\left(\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n}\right)\right)^{1/n}

$$

である。

ここで両辺の対数をとると、

$$ \log \left(\frac{(a_n)^{1/n}}{n}\right) =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log \left(1+\frac{k}{n}\right)

$$

となる。右辺は、区間 $[0,1]$ における関数 $\log(1+x)$ のリーマン和であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log \left(1+\frac{k}{n}\right) =\int_0^1 \log(1+x),dx

$$

である。変数変換 $t=1+x$ を用いれば、

$$ \int_0^1 \log(1+x),dx =\int_1^2 \log t,dt

$$

となる。

（1） の結果に $s=2$ を代入すると、

$$ \int_1^2 \log t,dt =2\log 2-2+1 =2\log 2-1

$$

である。したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}\log \left(\frac{(a_n)^{1/n}}{n}\right) =2\log 2-1

$$

となるので、指数をとって

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{(a_n)^{1/n}}{n} =e^{,2\log 2-1} =\frac{4}{e}

$$

を得る。

解説

（2） では、積の極限をそのまま扱うのではなく、対数をとって和に変えることが核心である。 すると

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log \left(1+\frac{k}{n}\right)

$$

が現れ、これは典型的なリーマン和になる。

また、（1） は単独の積分計算で終わる問題ではなく、（2） の評価に使うための準備になっている。したがって、両者は独立ではなく、（1） を踏まえて （2） を処理する流れが自然である。

答え

**(1)**

$$ \int_1^s \log x,dx=s\log s-s+1

$$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{(a_n)^{1/n}}{n}=\frac{4}{e}

$$