解説

方針・初手

まず、曲線と $x$ 軸の交点を調べ、実際に閉じた領域をつくる区間を決める。

その後、面積を

$$ \int x\log\frac{x+1}{x^2+1},dx

$$

として計算する。対数の中身を分けると積分しやすい。

解法1

曲線は

$$ y=x\log\frac{x+1}{x^2+1}

$$

である。定義域は $x+1>0$ より $x>-1$ である。

$x$ 軸との交点を求める。$y=0$ となるのは

$$ x=0

$$

または

$$ \log\frac{x+1}{x^2+1}=0

$$

のときである。後者は

$$ \frac{x+1}{x^2+1}=1

$$

すなわち

$$ x+1=x^2+1

$$

より

$$ x(x-1)=0

$$

となる。したがって交点は $x=0,1$ である。

また、$0<x<1$ において

$$ x+1-(x^2+1)=x(1-x)>0

$$

より

$$ \frac{x+1}{x^2+1}>1

$$

である。したがって

$$ \log\frac{x+1}{x^2+1}>0

$$

であり、さらに $x>0$ だから、この区間で曲線は $x$ 軸の上側にある。

よって求める面積を $S$ とすると、

$$ S=\int_0^1 x\log\frac{x+1}{x^2+1},dx

$$

である。対数を分けて

$$ S=\int_0^1 x\log(x+1),dx-\int_0^1 x\log(x^2+1),dx

$$

とする。

まず

$$ I_1=\int_0^1 x\log(x+1),dx

$$

を計算する。部分積分を用いると、

$$ \begin{aligned} I_1 &=\left[\frac{x^2}{2}\log(x+1)\right]_0^1-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{x+1},dx \end{aligned}

$$

である。ここで

$$ \frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}

$$

より、

$$ \begin{aligned} I_1 &=\frac12\log2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right),dx \\ &=\frac12\log2-\frac12\left(\frac12-1+\log2\right) \\ &=\frac14 \end{aligned}

$$

となる。

次に

$$ I_2=\int_0^1 x\log(x^2+1),dx

$$

を計算する。$u=x^2+1$ とおくと、$du=2x,dx$ であるから、

$$ \begin{aligned} I_2 &=\frac12\int_1^2\log u,du \\ &=\frac12\left[u\log u-u\right]_1^2 \\ &=\frac12{(2\log2-2)-(-1)} \\ &=\log2-\frac12 \end{aligned}

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} S &=I_1-I_2 \\ &=\frac14-\left(\log2-\frac12\right) \\ &=\frac34-\log2 \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題では、積分計算に入る前に、どの区間が実際に面積をつくるかを確認することが重要である。

$x=0,1$ が $x$ 軸との交点であり、$0<x<1$ では

$$ \frac{x+1}{x^2+1}>1

$$

となるため、曲線は $x$ 軸の上側にある。したがって絶対値をつけずにそのまま積分できる。

積分では

$$ \log\frac{x+1}{x^2+1}=\log(x+1)-\log(x^2+1)

$$

と分けるのが自然である。前半は部分積分、後半は $u=x^2+1$ の置換で処理できる。

答え

$$ \frac34-\log2

$$