解説

方針・初手

曲線

$$ \sqrt{\frac{x}{a}}+\sqrt{\frac{y}{b}}=1

$$

は第1象限で $x$ 軸、$y$ 軸と囲む図形を作る。まず $y$ を $x$ の式で表し、$0\leqq x\leqq a$ で積分する。

また、条件 $\sqrt a+\sqrt b=1$ から $b$ を $a$ で表せるので、面積 $S$ も $a$ のみの式に直せる。

解法1

曲線の式より、

$$ \sqrt{\frac{y}{b}}=1-\sqrt{\frac{x}{a}}

$$

である。第1象限で考えるので右辺は $0$ 以上であり、したがって

$$ 0\leqq x\leqq a

$$

である。

両辺を2乗して、

$$ \frac{y}{b}=\left(1-\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^2

$$

より、

$$ y=b\left(1-\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^2

$$

となる。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^a b\left(1-\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^2,dx

$$

である。

ここで

$$ t=\sqrt{\frac{x}{a}}

$$

とおくと、

$$ x=at^2,\qquad dx=2at,dt

$$

である。また、$x=0$ のとき $t=0$、$x=a$ のとき $t=1$ である。

よって、

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^1 b(1-t)^2\cdot 2at,dt\\ &=2ab\int_0^1 t(1-t)^2,dt\\ &=2ab\int_0^1 (t-2t^2+t^3),dt\\ &=2ab\left[\frac{t^2}{2}-\frac{2t^3}{3}+\frac{t^4}{4}\right]_0^1\\ &=2ab\left(\frac12-\frac23+\frac14\right)\\ &=2ab\cdot\frac{1}{12}\\ &=\frac{ab}{6}. \end{aligned}

$$

条件

$$ \sqrt a+\sqrt b=1

$$

より、

$$ \sqrt b=1-\sqrt a

$$

である。$0<a<1,\ 0<b<1$ より両辺は正であり、2乗して

$$ b=(1-\sqrt a)^2

$$

となる。

したがって、

$$ S=\frac{a(1-\sqrt a)^2}{6}

$$

である。

次に $S$ の最大値を求める。$t=\sqrt a$ とおくと、$0<t<1$ であり、

$$ S=\frac{t^2(1-t)^2}{6}

$$

となる。

ここで、

$$ t(1-t)=-\left(t-\frac12\right)^2+\frac14

$$

より、$0<t<1$ において

$$ t(1-t)\leqq \frac14

$$

であり、等号は

$$ t=\frac12

$$

のとき成立する。

したがって、

$$ S\leqq \frac{1}{6}\left(\frac14\right)^2=\frac{1}{96}

$$

である。

$t=\sqrt a=\frac12$ のとき、

$$ a=\frac14

$$

であり、この値は $0<a<1$ を満たす。よって最大値は

$$ \frac{1}{96}

$$

である。

解説

この問題では、曲線をそのまま扱うよりも、平方根を含む形に注目して

$$ t=\sqrt{\frac{x}{a}}

$$

とおくのが自然である。すると曲線上の $y$ が $b(1-t)^2$、また $dx=2at,dt$ となり、面積が簡単な多項式の積分に帰着する。

また、条件 $\sqrt a+\sqrt b=1$ は $a,b$ を直接結びつける条件ではなく、$\sqrt a,\sqrt b$ に関する条件である。そのため、最大値を求めるときも $t=\sqrt a$ とおくと式が整理される。

特に

$$ S=\frac{t^2(1-t)^2}{6}

$$

まで変形できれば、あとは $t(1-t)$ の最大値を考えるだけでよい。

答え

**(1)**

$$ S=\frac{a(1-\sqrt a)^2}{6}

$$

**(2)**

$$ S_{\max}=\frac{1}{96}

$$

ただし、このとき

$$ a=\frac14,\qquad b=\frac14

$$

である。