解説

方針・初手

(1) で $\dfrac{1}{1-x}$ の不定積分を求め、(3) ではそれを $0$ から $\dfrac{1}{2}$ まで積分することで $\log 2$ を表す。

(2) の不等式は、各辺との差を計算して非負であることを示す。特に $0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}$ では $1-x>0$ であるため、分母の正負に注意すればよい。

解法1

**(1)**

不定積分

$$ \int \frac{dx}{1-x}

$$

を求める。$u=1-x$ とおくと、$du=-dx$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int \frac{dx}{1-x} &= -\int \frac{du}{u} \\ -\log |u|+C \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} \int \frac{dx}{1-x} &= -\log |1-x|+C \end{aligned} $$

である。

**(2)**

$0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}$ とする。このとき $1-x>0$ である。

まず左側の不等式

$$ 1+x \leqq \frac{1}{1-x}

$$

を示す。差をとると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1-x}-(1+x) &= \frac{1-(1+x)(1-x)}{1-x} \end{aligned} $$

である。分子を計算すると、

$$ \begin{aligned} 1-(1+x)(1-x) &= 1-(1-x^2) \\ x^2 \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1-x}-(1+x) &= \frac{x^2}{1-x} \end{aligned} $$

となる。ここで $x^2 \geqq 0$ かつ $1-x>0$ より、

$$ \frac{x^2}{1-x}\geqq 0

$$

である。したがって、

$$ 1+x \leqq \frac{1}{1-x}

$$

が成り立つ。

次に右側の不等式

$$ \frac{1}{1-x}\leqq 1+2x

$$

を示す。差をとると、

$$ \begin{aligned} 1+2x-\frac{1}{1-x} &= \frac{(1+2x)(1-x)-1}{1-x} \end{aligned} $$

である。分子を計算すると、

$$ \begin{aligned} (1+2x)(1-x)-1 &= 1+x-2x^2-1 \\ x-2x^2 \\ x(1-2x) \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} 1+2x-\frac{1}{1-x} &= \frac{x(1-2x)}{1-x} \end{aligned} $$

となる。

$0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}$ より、$x\geqq 0$ かつ $1-2x\geqq 0$ である。また $1-x>0$ であるから、

$$ \frac{x(1-2x)}{1-x}\geqq 0

$$

である。よって、

$$ \frac{1}{1-x}\leqq 1+2x

$$

が成り立つ。

以上より、$0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}$ において

$$ 1+x\leqq \frac{1}{1-x}\leqq 1+2x

$$

が成り立つ。

**(3)**

(2) で示した不等式

$$ 1+x\leqq \frac{1}{1-x}\leqq 1+2x

$$

を、$x=0$ から $x=\dfrac{1}{2}$ まで積分する。区間全体で不等式が成り立つので、定積分について

$$ \int_0^{1/2}(1+x),dx \leqq \int_0^{1/2}\frac{1}{1-x},dx \leqq \int_0^{1/2}(1+2x),dx

$$

が成り立つ。

左辺は

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/2}(1+x),dx &= \left[x+\frac{x^2}{2}\right]_0^{1/2} \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{8} \\ \frac{5}{8} \end{aligned} $$

である。

中央は、(1) の結果を用いて

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/2}\frac{1}{1-x},dx &= \left[-\log(1-x)\right]_0^{1/2} \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} \left[-\log(1-x)\right]_0^{1/2} &= -\log \frac{1}{2}+\log 1 \\ \log 2 \end{aligned} $$

である。

右辺は

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/2}(1+2x),dx &= \left[x+x^2\right]_0^{1/2} \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \frac{5}{8} \leqq \log 2 \leqq \frac{3}{4}

$$

が示された。

解説

この問題の中心は、$\log 2$ を

$$ \int_0^{1/2}\frac{1}{1-x},dx

$$

として表すことである。

(2) の不等式は、$\dfrac{1}{1-x}$ を $1+x$ と $1+2x$ で上下からはさむ形になっている。そのため、この不等式をそのまま $0$ から $\dfrac{1}{2}$ まで積分すれば、$\log 2$ の評価が得られる。

注意すべき点は、$1-x>0$ であることを確認してから分母を含む式の符号を判断することである。また、$\log 2$ を直接近似するのではなく、定積分によって上下評価する点がこの問題の典型的な発想である。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} \int \frac{dx}{1-x} &= -\log |1-x|+C \end{aligned} $$

**(2)**

$0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}$ のとき、

$$ 1+x\leqq \frac{1}{1-x}\leqq 1+2x

$$

は成り立つ。

**(3)**

$$ \frac{5}{8}\leqq \log 2\leqq \frac{3}{4}

$$