基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題64 解説
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解説
方針・初手
分母に $\sqrt{x+1}$ があるので、まず $x+1$ を新しい文字で置くのが自然である。
また、分子の $x$ を $x=(x+1)-1$ と変形すると、$\sqrt{x+1}$ で割りやすい形になる。
解法1
$$ x=(x+1)-1
$$
と変形すると、
$$ \int \frac{x}{\sqrt{x+1}},dx =\int \frac{(x+1)-1}{\sqrt{x+1}},dx =\int \left(\sqrt{x+1}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right),dx
$$
となる。
ここで $u=x+1$ とおくと、$du=dx$ であるから、
$$ \int \left(\sqrt{x+1}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right),dx =\int \left(u^{1/2}-u^{-1/2}\right),du
$$
よって、
$$ \int \left(u^{1/2}-u^{-1/2}\right),du =\frac{2}{3}u^{3/2}-2u^{1/2}+C
$$
である。
最後に $u=x+1$ を戻して、
$$ \int \frac{x}{\sqrt{x+1}},dx =\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-2\sqrt{x+1}+C
$$
さらに $\sqrt{x+1}$ をくくると、
$$ \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-2\sqrt{x+1} =\frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1}
$$
となるので、
$$ \int \frac{x}{\sqrt{x+1}},dx =\frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1}+C
$$
である。
解法2
$$ t=\sqrt{x+1}
$$
とおくと、
$$ x=t^2-1,\qquad dx=2t,dt
$$
である。
したがって、
$$ \int \frac{x}{\sqrt{x+1}},dx =\int \frac{t^2-1}{t}\cdot 2t,dt =\int 2(t^2-1),dt
$$
となる。
これを積分して、
$$ \int 2(t^2-1),dt =\frac{2}{3}t^3-2t+C
$$
よって $t=\sqrt{x+1}$ を戻せば、
$$ \int \frac{x}{\sqrt{x+1}},dx =\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-2\sqrt{x+1}+C =\frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1}+C
$$
となる。
解説
この問題では、分母に $\sqrt{x+1}$ があるため、$x+1$ をひとまとまりとみるのが基本である。
特に $x=(x+1)-1$ と直してから整理する方法は、根号を含む積分でよく使う典型処理である。 一方、$\sqrt{x+1}$ そのものを文字で置く方法でも、被積分関数が多項式に変わるので計算しやすい。
答え
$$ [ア]=\frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1}+C
$$
ただし、同値な形
$$ [ア]=\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-2\sqrt{x+1}+C
$$
でもよい。