解説

方針・初手

分母の次数が $2$、分子の次数が $3$ であるから、まず多項式の割り算をして被積分関数を「多項式部分」と「真分数部分」に分ける。 そのあと、真分数部分 $\dfrac{1}{x^2-9}$ を部分分数分解して積分する。

解法1

まず、分子を分母 $x^2-9$ で割る。

$$ x^3-x^2-9x+10=(x^2-9)(x-1)+1

$$

したがって、

$$ \frac{x^3-x^2-9x+10}{x^2-9}=x-1+\frac{1}{x^2-9}

$$

よって、求める不定積分は

$$ \int \frac{x^3-x^2-9x+10}{x^2-9},dx =\int (x-1),dx+\int \frac{1}{x^2-9},dx

$$

となる。

前半はそのまま積分できて、

$$ \int (x-1),dx=\frac{x^2}{2}-x

$$

である。

次に、

$$ \frac{1}{x^2-9}=\frac{1}{(x-3)(x+3)}

$$

を部分分数分解する。定数 $A,B$ を用いて

$$ \frac{1}{(x-3)(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}

$$

とおくと、

$$ 1=A(x+3)+B(x-3)

$$

である。 $x=3$ を代入すると $1=6A$ なので $A=\dfrac{1}{6}$、 $x=-3$ を代入すると $1=-6B$ なので $B=-\dfrac{1}{6}$ である。

したがって、

$$ \frac{1}{x^2-9} =\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{x-3}-\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{x+3}

$$

ゆえに、

$$ \int \frac{1}{x^2-9},dx =\frac{1}{6}\int \frac{1}{x-3},dx-\frac{1}{6}\int \frac{1}{x+3},dx

$$

$$ =\frac{1}{6}\log|x-3|-\frac{1}{6}\log|x+3|

$$

$$ =\frac{1}{6}\log\left|\frac{x-3}{x+3}\right|

$$

以上より、

$$ \int \frac{x^3-x^2-9x+10}{x^2-9},dx =\frac{x^2}{2}-x+\frac{1}{6}\log\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C

$$

となる。

解説

この問題の要点は、最初に多項式の割り算を行うことである。 分子の次数が分母以上のとき、いきなり部分分数分解をしようとすると処理が不自然になる。まず割り算で真分数に直してから部分分数分解するのが基本である。

また、$\dfrac{1}{x^2-9}$ は平方差

$$ x^2-9=(x-3)(x+3)

$$

と因数分解できるので、一次式の分母に分けて対数の形に持ち込める。

答え

$$ \int \frac{x^3-x^2-9x+10}{x^2-9},dx =\frac{x^2}{2}-x+\frac{1}{6}\log\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C

$$