基礎問題集

数学3 積分法「定積分・面積」の問題66 解説

数学3の積分法「定積分・面積」にある問題66の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。

MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。

数学3積分法定積分・面積問題66

解説

$\log x$ を含むので，部分積分を用いるのが自然である。特に

$$ \int \frac{1}{(x+1)^2},dx=-\frac{1}{x+1}

であるから，

$$ u=\log x,\quad dv=\frac{1}{(x+1)^2},dx

と置く。なお，定義域は $x>0$ である。

部分積分を用いると，

$$ \begin{aligned} \int \frac{\log x}{(x+1)^2},dx &= -\frac{\log x}{x+1} + \int \frac{1}{x(x+1)},dx \end{aligned} $$

となる。

ここで，

$$ \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}

であるから，

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{x(x+1)},dx &= \int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right),dx \\ \log x-\log(x+1) \end{aligned} $$

を得る。

したがって，

$$ \begin{aligned} \int \frac{\log x}{(x+1)^2},dx &= -\frac{\log x}{x+1}+\log x-\log(x+1)+C \end{aligned} $$

である。

さらに前二項をまとめると，

$$ \begin{aligned} -\frac{\log x}{x+1}+\log x &= \left(1-\frac{1}{x+1}\right)\log x \\ \frac{x\log x}{x+1} \end{aligned} $$

より，

$$ \begin{aligned} \int \frac{\log x}{(x+1)^2},dx &= \frac{x\log x}{x+1}-\log(x+1)+C \end{aligned} $$

となる。

この問題の要点は，$\log x$ を微分して有理式に落とすことである。$\dfrac{1}{(x+1)^2}$ は積分しやすいので，部分積分の形がすぐに決まる。

その後は

$$ \frac{1}{x(x+1)}

を部分分数分解するだけでよい。対数関数を含む不定積分では，「対数を微分し，残りを積分する」という方針が典型である。

$$ \begin{aligned} \int \frac{\log x}{(x+1)^2},dx &= \frac{x\log x}{x+1}-\log(x+1)+C \qquad (x>0) \end{aligned} $$