解説

方針・初手

（1） は対数関数の合成関数の微分である。まず $x+\sqrt{x^2+1}>0$ を確認し、$\log u$ の微分公式 $\dfrac{d}{dx}\log u=\dfrac{u'}{u}$ を用いる。

（2） は （1） の結果をそのまま原始関数として利用すればよい。

解法1

**(1)**

まず、任意の実数 $x$ に対して

$$ \sqrt{x^2+1}>|x|

$$

であるから、

$$ x+\sqrt{x^2+1}>x+|x|\geqq 0

$$

となり、実際には常に正である。したがって $\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ は微分可能である。

ここで

$$ f(x)=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)

$$

とおくと、

$$ f'(x)=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}

$$

である。

分子をまとめると

$$ 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ \frac{d}{dx}\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

$$

である。

**(2)**

（1） より

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}},dx &= \log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}},dx &= \left[\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]_{-1}^{\sqrt{3}} \end{aligned} $$

となる。

したがって

# $$

\log\left(\sqrt{3}+\sqrt{3+1}\right)-\log\left(-1+\sqrt{(-1)^2+1}\right)

$$ \begin{aligned} すなわち \\ \log(2+\sqrt{3})-\log(\sqrt{2}-1) \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}

$$

より、

$$ -\log(\sqrt{2}-1)=\log(\sqrt{2}+1)

$$

となるので、

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}},dx &= \log{(2+\sqrt{3})(1+\sqrt{2})} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、 $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ の原始関数を直接覚えていなくても、（1） の微分計算によって自力で作れる点にある。

特に $\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ の微分では、分子に現れる $\sqrt{x^2+1}+x$ が分母の $x+\sqrt{x^2+1}$ と一致し、きれいに約される。この形を見抜けるかが重要である。

答え

**(1)**

$$ \frac{d}{dx}\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

$$

**(2)**

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}},dx &= \log(2+\sqrt{3})-\log(\sqrt{2}-1) \\ \log{(2+\sqrt{3})(1+\sqrt{2})} \end{aligned} $$