基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題68 解説
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解説
方針・初手
被積分関数は多項式と $e^{-x}$ の積であるから、原始関数も
$$ (ax+b)e^{-x}
$$
の形をしていると見て係数を定めるのが最も速い。
解法1
$$ \int (2x+1)e^{-x},dx
$$
の原始関数を
$$ F(x)=(ax+b)e^{-x}
$$
とおく。
これを微分すると、
$$ F'(x)=a e^{-x}-(ax+b)e^{-x}={-ax+(a-b)}e^{-x}
$$
となる。
これが
$$ (2x+1)e^{-x}
$$
に一致すればよいから、係数を比較して
$$ -a=2,\qquad a-b=1
$$
を得る。
したがって
$$ a=-2,\qquad -2-b=1
$$
より
$$ b=-3
$$
である。
よって原始関数は
$$ F(x)=(-2x-3)e^{-x}
$$
であり、
$$ \int (2x+1)e^{-x},dx=(-2x-3)e^{-x}+C
$$
となる。
解説
$e^{-x}$ を含む積分では、$e^{-x}$ をそのまま残した形の原始関数を仮定すると計算が短く済むことが多い。
実際、
$$ \frac{d}{dx}\bigl(P(x)e^{-x}\bigr)=(P'(x)-P(x))e^{-x}
$$
となるので、今回のように $(1$ 次式$)\times e^{-x}$ なら、原始関数も $(1$ 次式$)\times e^{-x}$ とおいて係数比較すればよい。
答え
$$ \int (2x+1)e^{-x},dx=(-2x-3)e^{-x}+C
$$