基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題69 解説
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解説
方針・初手
与えられた積分
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^3 x}{\sin x+\cos x},dx
$$
は，そのまま計算するよりも，$x=\dfrac{\pi}{2}-t$ とおく対称性を使って，同じ形の積分をもう1つ作るのが有効である。
すると $\sin^3 x$ を含む積分と $\cos^3 x$ を含む積分とを足すことができ，分子に現れる $\sin^3 x+\cos^3 x$ を因数分解して簡単にできる。
解法1
まず （1） を求める。
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos x,dx =\frac12\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2x,dx
$$
より，
$$ \frac12\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2x,dx =\frac12\left[-\frac12\cos 2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =\frac12
$$
したがって，
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos x,dx=\frac12
$$
次に （2） を示す。
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^3 x}{\sin x+\cos x},dx
$$
において，
$$ x=\frac{\pi}{2}-t
$$
とおくと，
$$ dx=-dt,\qquad \sin x=\cos t,\qquad \cos x=\sin t
$$
である。また，積分区間は
$$ x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2},\qquad x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0
$$
となるから，
$$ \begin{aligned} I &=\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\cos^3 t}{\cos t+\sin t}(-dt)\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 t}{\sin t+\cos t},dt \end{aligned}
$$
よって，
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 t}{\sin t+\cos t},dt
$$
が示された。
最後に （3） を求める。
（2） の結果で積分変数 $t$ を再び $x$ と書けば，
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin x+\cos x},dx
$$
である。これをもとの式と足すと，
$$ \begin{aligned} 2I &=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x+\cos^3 x}{\sin x+\cos x},dx \end{aligned}
$$
ここで，
$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
$$
より，
$$ \sin^3 x+\cos^3 x =(\sin x+\cos x)(\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x)
$$
であるから，
$$ \frac{\sin^3 x+\cos^3 x}{\sin x+\cos x} =\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x =1-\sin x\cos x
$$
したがって，
$$ 2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x\cos x),dx
$$
となる。よって，
$$ 2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}1,dx-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos x,dx
$$
であり，（1） の結果を用いると，
$$ 2I=\frac{\pi}{2}-\frac12=\frac{\pi-1}{2}
$$
ゆえに，
$$ I=\frac{\pi-1}{4}
$$
である。
解説
この問題の要点は，$x=\dfrac{\pi}{2}-t$ という置換によって $\sin$ と $\cos$ が入れ替わることを利用する点にある。
もとの積分と，$\sin^3 x$ を $\cos^3 x$ に置き換えた積分とを足すと，分子が $\sin^3 x+\cos^3 x$ となる。ここで和の立方の因数分解を使うと分母 $\sin x+\cos x$ が消え，積分が一気に簡単になる。
直接分母を有理化したり複雑な置換を考える必要はなく，対称性を見抜けるかどうかが鍵となる問題である。
答え
**(1)**
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos x,dx=\frac12
$$
**(2)**
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 t}{\sin t+\cos t},dt
$$
**(3)**
$$ I=\frac{\pi-1}{4}
$$