解説

方針・初手

まずは定義に直接代入して $I_0,I_1,I_2$ を計算する。

その後、$n\geqq 2$ のとき

$$ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^n,dx =\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{n-1}\cos x,dx

$$

と見て部分積分を行うと、$I_n$ と $I_{n-2}$ の関係式が得られる。

解法1

**(1)**

$I_0,I_1,I_2$ を求める。

$ I_0 $ は

$$ I_0=\int_0^{\frac{\pi}{2}}1,dx=\frac{\pi}{2}

$$

である。

$ I_1 $ は

$$ I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x,dx =\sin x\Bigl[,\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} =1

$$

である。

$ I_2 $ は、$\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ を用いて

$$ I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x,dx =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2x}{2},dx

$$

$$ =\frac12\int_0^{\frac{\pi}{2}}1,dx+\frac12\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 2x,dx =\frac12\cdot\frac{\pi}{2}+\frac12\cdot\frac{\sin 2x}{2}\Bigl[,\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{4}

$$

となる。

したがって、

$$ I_0=\frac{\pi}{2},\qquad I_1=1,\qquad I_2=\frac{\pi}{4}

$$

である。

**(2)**

$I_n$ を $I_{n-2}$ で表す。ただし $n\geqq 2$ とする。

$$ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{n-1}\cos x,dx

$$

とおき、部分積分を行う。 ここで

$$ u=(\cos x)^{n-1},\qquad dv=\cos x,dx

$$

とすると、

$$ du=-(n-1)(\cos x)^{n-2}\sin x,dx,\qquad v=\sin x

$$

であるから、

$$ I_n =\Bigl[(\cos x)^{n-1}\sin x\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} +(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{n-2}\sin^2 x,dx

$$

となる。

端の値は、$x=\dfrac{\pi}{2}$ で $\cos \dfrac{\pi}{2}=0,\ \sin \dfrac{\pi}{2}=1$、$x=0$ で $\sin 0=0$ であるから 0 である。よって

$$ I_n=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{n-2}\sin^2 x,dx

$$

を得る。

ここで $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ を用いると、

$$ I_n=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{n-2}(1-\cos^2 x),dx

$$

$$ =(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{n-2},dx -(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^n,dx

$$

すなわち

$$ I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n

$$

である。これを整理すると

$$ nI_n=(n-1)I_{n-2}

$$

したがって、

$$ I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}

$$

である。

解説

この問題の要点は、$I_n$ をそのまま計算しようとするのではなく、部分積分によって次数を $2$ 下げることである。

$\sin^2 x=1-\cos^2 x$ を使うと、積分の中に $(\cos x)^{n-2}$ と $(\cos x)^n$ が現れ、$I_{n-2}$ と $I_n$ を結びつけられる。この形は三角関数のべき乗積分で典型的に用いられる処理である。

答え

$$ \text{(1)}\quad I_0=\frac{\pi}{2},\qquad I_1=1,\qquad I_2=\frac{\pi}{4}

$$

$$ \text{(2)}\quad I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\qquad (n\geqq 2)

$$