解説

方針・初手

被積分関数が $\dfrac{1}{1+t^2}$ であるから、（1） は $t=\tan\theta$ とおくのが基本である。

（2） は、与えられた一次分数変換

$$ u=\frac{2t-1}{t+2}

$$

によって、$\dfrac{1}{1+t^2},dt$ がそのまま $\dfrac{1}{1+u^2},du$ に移ることを確かめる。積分区間も対応させれば、$f\left(\dfrac12\right)$ と $f\left(\dfrac13\right)$ の関係が出る。

解法1

**(1)**

$$ f(1)=\int_0^1 \frac{1}{1+t^2},dt

$$

において

$$ t=\tan\theta

$$

とおくと、

$$ dt=\sec^2\theta,d\theta,\qquad 1+t^2=1+\tan^2\theta=\sec^2\theta

$$

であるから、

$$ \frac{1}{1+t^2},dt=d\theta

$$

となる。

また、積分区間は

$$ t=0\Rightarrow \theta=0,\qquad t=1\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}

$$

である。

したがって、

$$ f(1)=\int_0^{\pi/4} d\theta=\frac{\pi}{4}

$$

である。

**(2)**

$$ u=\frac{2t-1}{t+2}

$$

とおく。まず微分すると、

$$ \frac{du}{dt} =\frac{2(t+2)-(2t-1)}{(t+2)^2} =\frac{5}{(t+2)^2}

$$

より、

$$ du=\frac{5}{(t+2)^2},dt

$$

である。

次に $1+u^2$ を計算すると、

$$ 1+u^2 =1+\left(\frac{2t-1}{t+2}\right)^2 =\frac{(t+2)^2+(2t-1)^2}{(t+2)^2}

$$

ここで、

$$ (t+2)^2+(2t-1)^2 =t^2+4t+4+4t^2-4t+1 =5t^2+5 =5(1+t^2)

$$

であるから、

$$ 1+u^2=\frac{5(1+t^2)}{(t+2)^2}

$$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+u^2},du &= \frac{1}{\dfrac{5(1+t^2)}{(t+2)^2}} \cdot \frac{5}{(t+2)^2},dt &= \frac{1}{1+t^2},dt \end{aligned} $$

を得る。

さらに、$t=\dfrac12$ のとき

$$ u=\frac{2\cdot \frac12-1}{\frac12+2}=0

$$

であり、$t=1$ のとき

$$ u=\frac{2\cdot 1-1}{1+2}=\frac13

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/3}\frac{1}{1+u^2},du &= \int_{1/2}^1\frac{1}{1+t^2},dt \end{aligned} $$

が成り立つ。

左辺は $f\left(\dfrac13\right)$ であり、右辺は

$$ \begin{aligned} \int_{1/2}^1\frac{1}{1+t^2},dt &= \int_0^1\frac{1}{1+t^2},dt-\int_0^{1/2}\frac{1}{1+t^2},dt \\ f(1)-f\left(\frac12\right) \end{aligned} $$

であるから、

$$ f\left(\frac13\right)=f(1)-f\left(\frac12\right)

$$

となる。よって、

$$ f\left(\frac12\right)+f\left(\frac13\right)=f(1)

$$

である。

（1） より $f(1)=\dfrac{\pi}{4}$ だから、

$$ f\left(\frac12\right)+f\left(\frac13\right)=\frac{\pi}{4}

$$

である。

解説

$\dfrac{1}{1+t^2}$ は $\tan$ の微分公式

$$ \frac{d}{d\theta}(\tan\theta)=1+\tan^2\theta

$$

と強く結びついているので、（1） は $t=\tan\theta$ が自然である。

（2） の一次分数変換

$$ u=\frac{2t-1}{t+2}

$$

は一見複雑であるが、実際には

$$ \frac{1}{1+u^2},du=\frac{1}{1+t^2},dt

$$

となるように作られている。したがって、積分区間の対応だけ調べれば、$f\left(\dfrac13\right)$ を $f(1)-f\left(\dfrac12\right)$ に結びつけられる。この関係に気づけば、和はすぐに $f(1)$ になる。

答え

**(1)**

$$ f(1)=\frac{\pi}{4}

$$

**(2)**

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/3}\frac{1}{1+u^2},du &= \int_{1/2}^1\frac{1}{1+t^2},dt \end{aligned} $$

したがって、

$$ f\left(\frac12\right)+f\left(\frac13\right)=\frac{\pi}{4}

$$