解説

方針・初手

円 $C$ の中心を $O$，円板 $D$ の中心を $Q$ とする。 点 $P$ の軌跡は，半径 $10$ の円の内側を半径 $3$ の円が滑らずに転がるときの内サイクロイドである。

まず，円板 $D$ の中心 $Q$ の位置と，円板の回転角を用いて点 $P$ の座標を媒介変数表示する。 そのうえで，

• 点 $P$ が再び円 $C$ の円周に来る時刻
• その間にできる曲線と円弧で囲まれる部分の面積

を求めればよい。

解法1

最初に，点 $P$ が円 $C$ に接している点を $A$ とし，$OA$ を $x$ 軸の正の向きにとる。

時刻に対応する媒介変数を $\theta$ とし，$\angle AOQ=\theta$ とする。 円板 $D$ の中心 $Q$ は半径 $10-3=7$ の円上を動くから，

$$ Q=(7\cos\theta,\ 7\sin\theta)

$$

である。

点 $P$ の媒介変数表示

円板 $D$ は滑らずに転がるので，円 $C$ の円周上で進んだ長さと，円板 $D$ の円周上で回転した長さは等しい。

円 $C$ 側で進んだ弧の長さは

$$ 10\theta

$$

である。 したがって，円板 $D$ は中心角

$$ \frac{10\theta}{3}

$$

だけ回転する。

このとき，接点は常に $OQ$ の延長上にあるから，ベクトル $\overrightarrow{QP}$ の向きは，初期位置から見て

$$ \theta-\frac{10\theta}{3}=-\frac{7\theta}{3}

$$

となる。よって，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{QP} &= \left(3\cos\frac{7\theta}{3},\ -3\sin\frac{7\theta}{3}\right) \end{aligned} $$

である。

したがって，点 $P$ の座標は

$$ \begin{aligned} x&=7\cos\theta+3\cos\frac{7\theta}{3},\\ y&=7\sin\theta-3\sin\frac{7\theta}{3} \end{aligned}

$$

となる。

点 $P$ が再び円 $C$ の円周に来るとき

点 $P$ が円 $C$ の円周上にある条件は

$$ x^2+y^2=10^2

$$

である。上の式を代入すると，

$$ \begin{aligned} x^2+y^2 &=49+9+42\left(\cos\theta\cos\frac{7\theta}{3}-\sin\theta\sin\frac{7\theta}{3}\right)\\ &=58+42\cos\frac{10\theta}{3} \end{aligned}

$$

となる。したがって，

$$ 58+42\cos\frac{10\theta}{3}=100

$$

より，

$$ \cos\frac{10\theta}{3}=1

$$

である。最初の $\theta=0$ を除く最小の正の解は

$$ \frac{10\theta}{3}=2\pi \quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{3\pi}{5}

$$

である。

よって，点 $P$ は $\theta=0$ で $A$ にあり，$\theta=\dfrac{3\pi}{5}$ で再び円 $C$ の円周上の点 $B$ に達する。 この間，軌跡は円 $C$ の内部にあり，円弧 $AB$ と合わせて円 $C$ を 2 つに分ける。

曲線 $AB$ と半径 $OA,OB$ で囲まれる部分の面積

媒介変数表示された曲線に対して，原点 $O$ と曲線とで囲まれる面積は

$$ \frac12\int (x,dy-y,dx)

$$

で与えられる。したがって，

$$ S_0=\frac12\int_0^{3\pi/5}\left(x\frac{dy}{d\theta}-y\frac{dx}{d\theta}\right)d\theta

$$

である。

ここで，

$$ \begin{aligned} \frac{dx}{d\theta}&=-7\sin\theta-7\sin\frac{7\theta}{3},\\ \frac{dy}{d\theta}&=7\cos\theta-7\cos\frac{7\theta}{3} \end{aligned}

$$

だから，

$$ \begin{aligned} x\frac{dy}{d\theta}-y\frac{dx}{d\theta} &=28-28\cos\frac{10\theta}{3}\\ &=56\sin^2\frac{5\theta}{3} \end{aligned}

$$

となる。よって，

$$ \begin{aligned} S_0 &=\frac12\int_0^{3\pi/5}56\sin^2\frac{5\theta}{3},d\theta\\ &=28\int_0^{3\pi/5}\sin^2\frac{5\theta}{3},d\theta \end{aligned}

$$

ここで

$$ u=\frac{5\theta}{3}

$$

とおくと，

$$ d\theta=\frac35,du

$$

であり，$\theta=0$ のとき $u=0$，$\theta=\dfrac{3\pi}{5}$ のとき $u=\pi$ だから，

$$ \begin{aligned} S_0 &=28\cdot\frac35\int_0^\pi \sin^2u,du\\ &=\frac{84}{5}\cdot\frac{\pi}{2}\\ &=\frac{42\pi}{5} \end{aligned}

$$

となる。

求める 2 つの部分の面積

扇形 $AOB$ の中心角は

$$ \frac{3\pi}{5}

$$

だから，その面積は

$$ \frac12\cdot 10^2\cdot \frac{3\pi}{5}=30\pi

$$

である。

したがって，円弧 $AB$ と軌跡で囲まれる小さい方の部分の面積は

$$ 30\pi-\frac{42\pi}{5} =\frac{108\pi}{5}

$$

である。

円 $C$ 全体の面積は

$$ 100\pi

$$

だから，大きい方の部分の面積は

$$ 100\pi-\frac{108\pi}{5} =\frac{392\pi}{5}

$$

である。

解説

この問題の要点は，点 $P$ の軌跡そのものを直接追うのではなく，

• 円板 $D$ の中心 $Q$ の運動
• 滑らない条件から決まる円板の回転角

を分けて考えることである。

半径が $10$ と $3$ なので，中心 $Q$ は半径 $7$ の円を動く。さらに，滑らない条件から回転角は $\dfrac{10\theta}{3}$ と決まる。これにより，点 $P$ の座標が自然に書ける。

面積は，扇形の面積から「曲線と半径で囲まれる部分」を引くのが最も整理しやすい。 この後者は，媒介変数表示された曲線の面積公式を使うと計算が一直線になる。

答え

小さい方の部分の面積は

$$ \frac{108\pi}{5}

$$

大きい方の部分の面積は

$$ \frac{392\pi}{5}

$$

である。