解説

方針・初手

与えられた式の右辺に現れる積分

$$ \int_1^e f(t)\log t,dt

$$

は、積分変数が $t$ であり上端・下端も定数なので、$x$ によらない定数である。したがって、まずこれを

$$ I=\int_1^e f(t)\log t,dt

$$

とおいて $f(x)=x^2\log x-I$ と表す。あとはこの式を再び $I$ の定義に代入して $I$ を決定すればよい。

解法1

$$ I=\int_1^e f(t)\log t,dt

$$

とおくと、条件より

$$ f(x)=x^2\log x-I

$$

である。

これを $I$ の式に代入すると、

$$ \begin{aligned} I &=\int_1^e (t^2\log t-I)\log t,dt \\ &=\int_1^e t^2(\log t)^2,dt-I\int_1^e \log t,dt \end{aligned}

$$

となる。

まず

$$ \int_1^e \log t,dt=[t\log t-t]_1^e=1

$$

である。

次に

$$ \int_1^e t^2(\log t)^2,dt

$$

を求める。ここで $u=\log t$ とおくと、$t=e^u,\ dt=e^u,du$ であり、$t=1$ のとき $u=0$、$t=e$ のとき $u=1$ だから、

$$ \int_1^e t^2(\log t)^2,dt =\int_0^1 u^2e^{3u},du

$$

となる。

これを積分すると、

$$ \int u^2e^{3u},du =e^{3u}\left(\frac{u^2}{3}-\frac{2u}{9}+\frac{2}{27}\right)+C

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 u^2e^{3u},du &=\left[e^{3u}\left(\frac{u^2}{3}-\frac{2u}{9}+\frac{2}{27}\right)\right]_0^1 \\ &=e^3\left(\frac13-\frac29+\frac{2}{27}\right)-\frac{2}{27} \\ &=\frac{5e^3-2}{27} \end{aligned}

$$

である。

したがって、

$$ I=\frac{5e^3-2}{27}-I

$$

となるから、

$$ 2I=\frac{5e^3-2}{27}

$$

すなわち

$$ I=\frac{5e^3-2}{54}

$$

を得る。

よって

$$ f(x)=x^2\log x-\frac{5e^3-2}{54}

$$

である。これで （1） が求まった。

---

次に （2） を考える。

$$ f(x)=x^2\log x-\frac{5e^3-2}{54}

$$

より、

$$ f'(x)=2x\log x+x=x(2\log x+1)

$$

である。$x>0$ だから、$f'(x)=0$ は

$$ 2\log x+1=0

$$

すなわち

$$ \log x=-\frac12

$$

より

$$ x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt e}

$$

である。

さらに

$$ f''(x)=2\log x+3

$$

なので、$x=e^{-1/2}$ では

$$ f''!\left(e^{-1/2}\right)=2\left(-\frac12\right)+3=2>0

$$

となる。したがって、$x=\dfrac1{\sqrt e}$ で極小値をとる。極値を与える $x$ の値は

$$ x=\frac1{\sqrt e}

$$

である。

---

最後に （3） を考える。

変曲点は $f''(x)=0$ となり、かつ符号が変化する点である。

$$ f''(x)=2\log x+3

$$

より、

$$ 2\log x+3=0

$$

すなわち

$$ \log x=-\frac32

$$

だから、

$$ x=e^{-3/2}

$$

である。

実際、$2\log x+3$ は $x=e^{-3/2}$ を境に負から正へ変化するので、ここは変曲点である。したがって、変曲点の $x$ 座標は

$$ x=e^{-3/2}

$$

である。

解説

この問題の本質は、積分項が $x$ に依存しない定数であることを見抜く点にある。そこに気づけば、関数方程式が実質的に

$$ f(x)=x^2\log x-\text{定数}

$$

という形になり、残りは定数の決定だけになる。

また、極値や変曲点は定数項の影響を受けない。したがって （2）、（3） は $x^2\log x$ の微分を考えるだけで処理できる。関数方程式で $f(x)$ を求めた後は、通常の微分法の問題に戻る。

答え

**(1)**

$$ f(x)=x^2\log x-\frac{5e^3-2}{54}

$$

**(2)**

極値を与える $x$ の値は

$$ x=\frac1{\sqrt e}

$$

である。

**(3)**

変曲点の $x$ 座標は

$$ x=e^{-3/2}

$$

である。