基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題74 解説
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解説
方針・初手
右辺の $x$ への依存は $e^x$ のみであり、積分
$$ \int_0^1 {f(t)}^2,dt
$$
は $x$ によらない定数である。
したがって、まず
$$ C=\int_0^1 {f(t)}^2,dt
$$
とおくと、与式は
$$ f(x)=Ce^x
$$
という形に限られる。あとはこの $C$ が実際に成り立つ条件を調べればよい。
解法1
$$ C=\int_0^1 {f(t)}^2,dt
$$
とおくと、与えられた条件より任意の $x$ について
$$ f(x)=e^x C
$$
である。
よって
$$ f(t)=Ce^t
$$
であるから、$C$ の定義に代入すると
$$ C=\int_0^1 {Ce^t}^2,dt =C^2\int_0^1 e^{2t},dt =C^2\left[\frac{1}{2}e^{2t}\right]_0^1 =C^2\cdot \frac{e^2-1}{2}.
$$
したがって
$$ C=C^2\cdot \frac{e^2-1}{2}
$$
より
$$ C\left(1-C\frac{e^2-1}{2}\right)=0.
$$
ゆえに
$$ C=0 \quad \text{または} \quad C=\frac{2}{e^2-1}.
$$
それぞれについて $f(x)=Ce^x$ であるから、
**(i)**
$C=0$ のとき
$$ f(x)=0
$$
**(ii)**
$C=\dfrac{2}{e^2-1}$ のとき
$$ f(x)=\frac{2e^x}{e^2-1}
$$
となる。
以上より、求める連続関数はこの2つである。
解説
この問題の要点は、積分
$$ \int_0^1 {f(t)}^2,dt
$$
が $x$ に関して定数であることに気づくことである。すると $f(x)$ は $e^x$ の定数倍に限られる。
あとはその定数を自己矛盾なく決めるために、再び積分の定義へ戻して方程式を作ればよい。関数方程式を、定数に関する方程式へ落とすのが基本方針である。
答え
$$ f(x)=0 \quad \text{または} \quad f(x)=\frac{2e^x}{e^2-1}.
$$