解説

方針・初手

絶対値の中身は

$$ \log t-\log x=\log\frac{t}{x}

$$

である。$1\leqq x\leqq 2$ では、積分区間 $1\leqq t\leqq 2$ の中で $t=x$ を境に符号が変わるので、$t=x$ で積分区間を分ける。

解法1

まず、$f(1),f(2)$ を求める。

$x=1$ のとき、$1\leqq t\leqq 2$ で $\log t\geqq 0$ だから、

$$ f(1)=\int_1^2 \log t,dt

$$

である。$\int \log t,dt=t\log t-t$ より、

$$ f(1)=\left[t\log t-t\right]_1^2 =2\log2-2-(-1) =2\log2-1

$$

である。

次に $x=2$ のとき、$1\leqq t\leqq 2$ で $\log t\leqq \log2$ だから、

$$ f(2)=\int_1^2(\log2-\log t),dt

$$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} f(2) &=\int_1^2 \log2,dt-\int_1^2\log t,dt\\ &=\log2-(2\log2-1)\\ &=1-\log2 \end{aligned}

$$

である。

次に、$1\leqq x\leqq 2$ のときを考える。このとき、$1\leqq t\leqq x$ では $\log t-\log x\leqq 0$、$x\leqq t\leqq 2$ では $\log t-\log x\geqq 0$ である。

したがって、

$$ f(x)=\int_1^x(\log x-\log t),dt+\int_x^2(\log t-\log x),dt

$$

となる。

第1項は、

$$ \begin{aligned} \int_1^x(\log x-\log t),dt &=(x-1)\log x-\left[t\log t-t\right]_1^x\\ &=(x-1)\log x-(x\log x-x+1)\\ &=x-1-\log x \end{aligned}

$$

である。

第2項は、

$$ \begin{aligned} \int_x^2(\log t-\log x),dt &=\left[t\log t-t\right]_x^2-(2-x)\log x\\ &=(2\log2-2-x\log x+x)-(2-x)\log x\\ &=2\log2-2+x-2\log x \end{aligned}

$$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} f(x) &=(x-1-\log x)+(2\log2-2+x-2\log x)\\ &=2x-3+2\log2-3\log x \end{aligned}

$$

である。

したがって、$1\leqq x\leqq 2$ において

$$ f(x)=2x-3+2\log2-3\log x

$$

である。

最大値・最小値を求めるため、微分する。

$$ f'(x)=2-\frac{3}{x}

$$

より、

$$ f'(x)=0

$$

となるのは

$$ x=\frac{3}{2}

$$

のときである。

また、

$$ f''(x)=\frac{3}{x^2}>0

$$

であるから、$f(x)$ は下に凸であり、$x=\frac{3}{2}$ で最小値をとる。

最小値は、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{3}{2}\right) &=2\cdot\frac{3}{2}-3+2\log2-3\log\frac{3}{2}\\ &=2\log2-3(\log3-\log2)\\ &=5\log2-3\log3\\ &=\log\frac{32}{27} \end{aligned}

$$

である。

最大値は端点 $x=1,2$ の値を比較すればよい。

$$ f(1)=2\log2-1,\qquad f(2)=1-\log2

$$

であるから、

$$ f(1)-f(2)=3\log2-2

$$

である。

ここで、$3\log2-2>0$ は

$$ \log8>2

$$

と同値であり、さらに

$$ 8>e^2

$$

と同値である。$2.7<e<2.8$ より、

$$ e^2<2.8^2=7.84<8

$$

であるから、確かに $8>e^2$ である。

したがって、

$$ f(1)>f(2)

$$

であり、最大値は $x=1$ のときの

$$ 2\log2-1

$$

である。

解説

この問題では、絶対値の外し方が中心である。$1\leqq x\leqq 2$ では、積分区間 $[1,2]$ の中に $t=x$ が入るため、そこで符号が変わる。

また、最大値・最小値については、積分で得た式を微分して調べればよい。極値だけでなく、閉区間 $1\leqq x\leqq 2$ の端点も必ず確認する必要がある。

端点比較では $2\log2-1$ と $1-\log2$ の大小を比べることになる。ここで $2.7<e<2.8$ を使うと、$e^2<8$ が分かり、$3\log2>2$ を示せる。

答え

**(1)**

$$ f(1)=2\log2-1,\qquad f(2)=1-\log2

$$

**(2)**

$$ f(x)=2x-3+2\log2-3\log x \qquad(1\leqq x\leqq 2)

$$

**(3)**

最大値は

$$ 2\log2-1

$$

であり、そのとき

$$ x=1

$$

である。

最小値は

$$ \log\frac{32}{27}

$$

であり、そのとき

$$ x=\frac{3}{2}

$$

である。