解説

方針・初手

まず

$$ I=\int_{-1}^{1}f(t),dt

$$

とおく。すると与えられた条件は

$$ f(x)=\sqrt{1-x^2}+\frac{2I}{\pi}x

$$

と書けるので、両辺を $x$ について $-1$ から $1$ まで積分すれば $I$ が決まる。これにより $f(x)$ の具体式が求まり、そのあと微分して増減を調べればよい。

解法1

（1） まず

$$ \int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2},dx

$$

を求める。

$y=\sqrt{1-x^2}$ は $x^2+y^2=1,\ y\geqq 0$ を表すので、半径 $1$ の上半円である。したがって、この積分値はその上半円の面積に等しい。

よって

$$ \int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2},dx=\frac{1}{2}\pi\cdot 1^2=\frac{\pi}{2}

$$

である。

**(2)**

$$ I=\int_{-1}^{1}f(t),dt

$$

とおくと、条件より

$$ f(x)=\sqrt{1-x^2}+\frac{2I}{\pi}x

$$

である。これを $x=-1$ から $1$ まで積分すると

$$ \begin{aligned} I &=\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2},dx+\frac{2I}{\pi}\int_{-1}^{1}x,dx \\ &=\frac{\pi}{2}+\frac{2I}{\pi}\cdot 0 \\ &=\frac{\pi}{2} \end{aligned}

$$

となる。

したがって

$$ f(x)=\sqrt{1-x^2}+\frac{2}{\pi}\cdot \frac{\pi}{2}x=\sqrt{1-x^2}+x

$$

である。

**(3)**

$f(x)=\sqrt{1-x^2}+x$ を微分すると

$$ f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+1 =1-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \qquad (-1<x<1)

$$

である。

$f'(x)=0$ を解くと

$$ 1=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}

$$

より、右辺が正であるため $x>0$ でなければならない。そこで両辺を2乗して

$$ 1-x^2=x^2

$$

すなわち

$$ x=\frac{1}{\sqrt{2}}

$$

を得る。

次に符号を調べる。

**(i)**

$-1<x<0$ のとき、$\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}<0$ であるから

$$ f'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}>0

$$

である。

**(ii)**

$0\leqq x<\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、

$$ \sqrt{1-x^2}>x

$$

であるから

$$ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}<1

$$

となり、$f'(x)>0$ である。

**(iii)**

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}<x<1$ のとき、

$$ \sqrt{1-x^2}<x

$$

であるから

$$ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}>1

$$

となり、$f'(x)<0$ である。

以上より、$f(x)$ は

• $-1\leqq x\leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で増加
• $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq x\leqq 1$ で減少

する。

極大値は

$$ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =\sqrt{1-\frac{1}{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} =\sqrt{2}

$$

である。

また、端点での値は

$$ f(-1)=-1,\qquad f(1)=1

$$

である。さらに

$$ f(0)=1

$$

であるから、グラフは $(-1,-1)$ から出発して増加し、$\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2}\right)$ で最大となったあと減少して $(1,1)$ に至る形である。

解説

この問題の要点は、未知の関数 $f(x)$ が積分値

$$ \int_{-1}^{1}f(t),dt

$$

を含んでいても、それをひとつの定数 $I$ とみなせば通常の関数として扱える点にある。実際、両辺を積分するだけで $I$ が決まり、$f(x)$ は具体的な式に落ちる。

その後は微分して増減を調べるだけである。$\sqrt{1-x^2}$ は上半円を表すことを押さえておくと、（1） も即座に処理できる。

答え

**(1)**

$$ \int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2},dx=\frac{\pi}{2}

$$

**(2)**

$$ f(x)=\sqrt{1-x^2}+x \qquad (-1\leqq x\leqq 1)

$$

**(3)**

$f(x)$ は

$-1\leqq x\leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で増加

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq x\leqq 1$ で減少

する。

最大値は

$$ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}

$$

であり、グラフは $(-1,-1)$ から増加して $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2}\right)$ で最大となり、その後減少して $(1,1)$ に至る。