解説

方針・初手

区間 $[a,b]$ 上では $(x-a)(b-x)\geqq 0$ であるから，絶対値は実質的に不要である。まず $t=b-a$ とおき，$y=x-a$ と変数変換して積分を $t$ だけの式に直す。

その後，(2) の不等式を $x=y(t-y)$ に適用し，$S(t)$ を上下から評価する。

解法1

$t=b-a$ とおく。$a<b$ より $t>0$ である。

**(1)**

$x\in[a,b]$ では

$$ x-a\geqq 0,\qquad b-x\geqq 0

$$

であるから，

$$ 1+(x-a)(b-x)\geqq 1>0

$$

となり，

$$ f(x)=\log{1+(x-a)(b-x)}

$$

である。

ここで

$$ y=x-a

$$

とおくと，$x=a$ のとき $y=0$，$x=b$ のとき $y=b-a=t$ であり，また

$$ b-x=b-(a+y)=t-y

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \int_a^b f(x),dx &= \int_0^t \log{1+y(t-y)},dy \end{aligned} $$

となる。

右辺は $a,b$ を直接含まず，$t=b-a$ のみによって決まる。よって，$a,b$ が変化しても $t$ が一定ならば，積分

$$ \int_a^b f(x),dx

$$

の値は一定である。

**(2)**

まず右側の不等式を示す。

$$ g(x)=x-\log(1+x)

$$

とおく。$x\geqq 0$ に対して

$$ g'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\geqq 0

$$

である。よって $g(x)$ は $x\geqq 0$ で単調増加であり，$g(0)=0$ だから

$$ g(x)\geqq 0

$$

である。したがって

$$ \log(1+x)\leqq x

$$

が成り立つ。

次に左側の不等式を示す。

$$ h(x)=\log(1+x)-x+\frac{x^2}{2}

$$

とおく。$x\geqq 0$ に対して

$$ \begin{aligned} h'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x &= \frac{x^2}{1+x}\geqq 0 \end{aligned} $$

である。よって $h(x)$ は $x\geqq 0$ で単調増加であり，$h(0)=0$ だから

$$ h(x)\geqq 0

$$

である。したがって

$$ \log(1+x)\geqq x-\frac{x^2}{2}

$$

が成り立つ。

以上より，$x\geqq 0$ に対して

$$ x-\frac{x^2}{2}\leqq \log(1+x)\leqq x

$$

である。

**(3)**

(1) より

$$ S(t)=\int_0^t \log{1+y(t-y)},dy

$$

である。

$0\leqq y\leqq t$ では

$$ y(t-y)\geqq 0

$$

であるから，(2) の不等式を $x=y(t-y)$ に適用できる。よって

$$ y(t-y)-\frac{{y(t-y)}^2}{2} \leqq \log{1+y(t-y)} \leqq y(t-y)

$$

である。

これを $0$ から $t$ まで積分すると，

$$ \int_0^t y(t-y),dy-\frac{1}{2}\int_0^t y^2(t-y)^2,dy \leqq S(t) \leqq \int_0^t y(t-y),dy

$$

となる。

まず

$$ \begin{aligned} \int_0^t y(t-y),dy &= \int_0^t (ty-y^2),dy \\ \frac{t^3}{2}-\frac{t^3}{3} \\ \frac{t^3}{6} \end{aligned} $$

である。

また，

$$ \begin{aligned} \int_0^t y^2(t-y)^2,dy &= \int_0^t (t^2y^2-2ty^3+y^4),dy\\ &= t^2\cdot\frac{t^3}{3} -2t\cdot\frac{t^4}{4} +\frac{t^5}{5}\\ &= \frac{t^5}{3}-\frac{t^5}{2}+\frac{t^5}{5}\\ &= \frac{t^5}{30} \end{aligned}

$$

である。

したがって

$$ \frac{t^3}{6}-\frac{t^5}{60} \leqq S(t) \leqq \frac{t^3}{6}

$$

である。$t>0$ なので $t^3$ で割ると，

$$ \frac{1}{6}-\frac{t^2}{60} \leqq \frac{S(t)}{t^3} \leqq \frac{1}{6}

$$

となる。

$t\to 0$ とすると，左辺も右辺も $\dfrac{1}{6}$ に近づく。はさみうちの原理より，

$$ \begin{aligned} \lim_{t\to 0}\frac{S(t)}{t^3} &= \frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は，区間 $[a,b]$ を長さ $t=b-a$ の区間 $[0,t]$ に移す変数変換である。これにより，$a,b$ の位置には依存せず，区間の長さ $t$ だけが本質であることが見える。

(3) では，$\log(1+u)$ の近似

$$ \log(1+u)=u+O(u^2)

$$

を直接使う代わりに，(2) の不等式で厳密に評価するのが安全である。ここで $u=y(t-y)$ とすれば，主項は

$$ \int_0^t y(t-y),dy=\frac{t^3}{6}

$$

になり，誤差項は $t^5$ のオーダーに抑えられるため，$t^3$ で割った極限には影響しない。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} \int_a^b f(x),dx &= \int_0^t \log{1+y(t-y)},dy \end{aligned} $$

となるので，$t=b-a$ が一定ならば積分値は一定である。

**(2)**

$x\geqq 0$ に対して

$$ x-\frac{x^2}{2}\leqq \log(1+x)\leqq x

$$

が成り立つ。

**(3)**

$$ \begin{aligned} \lim_{t\to 0}\frac{S(t)}{t^3} &= \frac{1}{6} \end{aligned} $$