解説

方針・初手

関数

$$ y=\frac{x^2+3}{3}\sqrt{9-x^2}

$$

は $x$ の偶関数であるから、グラフは $y$ 軸に関して対称である。増減は微分によって調べ、面積は $y\geqq 0$ であることを利用して定積分で求める。

解法1

まず、$-3<x<3$ において微分する。

$$ y=\frac{1}{3}(x^2+3)(9-x^2)^{1/2}

$$

より、

$$ \begin{aligned} y' &=\frac{1}{3}\left\{2x\sqrt{9-x^2}+(x^2+3)\cdot \frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}\right\}\\ &=\frac{x}{3\sqrt{9-x^2}}{2(9-x^2)-(x^2+3)}\\ &=\frac{x}{3\sqrt{9-x^2}}(15-3x^2)\\ &=\frac{x(5-x^2)}{\sqrt{9-x^2}}. \end{aligned}

$$

$-3<x<3$ では $\sqrt{9-x^2}>0$ であるから、$y'$ の符号は $x(5-x^2)$ の符号で決まる。

したがって、増減は次のようになる。

| $x$ | $-3$ | | $-\sqrt5$ | | $0$ | | $\sqrt5$ | | $3$ | | ---- | ---: | ---------- | --------------: | ---------- | --: | ---------- | --------------: | ---------- | --: | | $y'$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | | | $y$ | $0$ | $\nearrow$ | $\dfrac{16}{3}$ | $\searrow$ | $3$ | $\nearrow$ | $\dfrac{16}{3}$ | $\searrow$ | $0$ |

実際に、

$$ y(0)=\frac{3}{3}\sqrt9=3

$$

であり、

$$ y(\pm\sqrt5)=\frac{5+3}{3}\sqrt{9-5}=\frac{8}{3}\cdot 2=\frac{16}{3}

$$

である。また、

$$ y(\pm 3)=0

$$

である。

よって、$C$ は $y$ 軸対称で、点 $(-3,0)$ から増加して $x=-\sqrt5$ で極大値 $\dfrac{16}{3}$ をとり、その後 $x=0$ で極小値 $3$ をとる。さらに $x=\sqrt5$ で再び極大値 $\dfrac{16}{3}$ をとり、点 $(3,0)$ まで減少する。

次に、$C$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。$-3\leqq x\leqq 3$ で

$$ \sqrt{9-x^2}\geqq 0,\qquad x^2+3>0

$$

であるから、常に $y\geqq 0$ である。したがって求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-3}^{3}\frac{x^2+3}{3}\sqrt{9-x^2},dx

$$

である。被積分関数は偶関数なので、

$$ S=\frac{2}{3}\int_0^3 (x^2+3)\sqrt{9-x^2},dx

$$

となる。

ここで

$$ x=3\sin\theta

$$

とおくと、$x=0$ のとき $\theta=0$、$x=3$ のとき $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ であり、

$$ dx=3\cos\theta,d\theta,\qquad \sqrt{9-x^2}=3\cos\theta

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} S &=\frac{2}{3}\int_0^{\pi/2}(9\sin^2\theta+3)\cdot 3\cos\theta\cdot 3\cos\theta,d\theta\\ &=\frac{2}{3}\int_0^{\pi/2}(81\sin^2\theta\cos^2\theta+27\cos^2\theta),d\theta\\ &=54\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta,d\theta +18\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta,d\theta. \end{aligned}

$$

ここで、

$$ \sin^2\theta\cos^2\theta=\frac{1}{4}\sin^2 2\theta =\frac{1}{8}(1-\cos4\theta)

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta,d\theta &= \frac{1}{8}\int_0^{\pi/2}(1-\cos4\theta),d\theta \\ \frac{\pi}{16} \end{aligned} $$

である。また、

$$ \int_0^{\pi/2}\cos^2\theta,d\theta=\frac{\pi}{4}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} S &=54\cdot \frac{\pi}{16}+18\cdot \frac{\pi}{4}\\ &=\frac{27\pi}{8}+\frac{9\pi}{2}\\ &=\frac{27\pi}{8}+\frac{36\pi}{8}\\ &=\frac{63\pi}{8}. \end{aligned}

$$

解説

この問題では、関数が偶関数であることを最初に見ると、増減表も面積計算も整理しやすい。

微分では $\sqrt{9-x^2}$ が分母に出るが、定義域の内部 $-3<x<3$ では正であるため、符号判定は $x(5-x^2)$ だけを見ればよい。端点 $x=\pm3$ では微分係数を直接使わず、関数値と内部での増減から概形を判断する。

面積では、曲線が $x$ 軸の上側にあることを確認してから定積分を立てる必要がある。$\sqrt{9-x^2}$ を含む積分なので、$x=3\sin\theta$ とおく三角置換が自然である。

答え

**(1)**

増加区間は

$$ -3\leqq x\leqq -\sqrt5,\qquad 0\leqq x\leqq \sqrt5

$$

であり、減少区間は

$$ -\sqrt5\leqq x\leqq 0,\qquad \sqrt5\leqq x\leqq 3

$$

である。

極大値は

$$ x=\pm\sqrt5\text{ のとき }\frac{16}{3}

$$

であり、極小値は

$$ x=0\text{ のとき }3

$$

である。グラフは $y$ 軸対称で、$(-3,0)$、$(3,0)$ を通り、全体として $x$ 軸の上側にある。

**(2)**

求める面積は

$$ \frac{63\pi}{8}

$$

である。