基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題82 解説
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解説
方針・初手
媒介変数表示された曲線では、まず
$$ \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt}
$$
を求めるのが基本である。
すると、（1） は
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}
$$
で処理でき、（2） は弧長の公式
$$ L=\int \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2},dt
$$
を用いればよい。
また、（3） の面積は、$x$ が $t$ の増加とともに増えることを用いて
$$ S=\int y,dx=\int y\frac{dx}{dt},dt
$$
で求める。
解法1
与えられた曲線は
$$ x=t+\sin t,\qquad y=1-\cos t \qquad (0\leqq t\leqq \pi)
$$
である。
まず $t$ で微分すると
$$ \frac{dx}{dt}=1+\cos t,\qquad \frac{dy}{dt}=\sin t
$$
となる。
（1） $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ を $t$ で表す
$0<t<\pi$ において
$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy/dt}{dx/dt} \\ \frac{\sin t}{1+\cos t} \end{aligned} $$
である。
さらに、半角公式
$$ \frac{\sin t}{1+\cos t}=\tan \frac{t}{2}
$$
より
$$ \frac{dy}{dx}=\tan \frac{t}{2}
$$
である。
（2） 曲線 $C$ の長さ
弧長 $L$ は
$$ L=\int_0^\pi \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2},dt
$$
であるから、
$$ L=\int_0^\pi \sqrt{(1+\cos t)^2+\sin^2 t},dt
$$
となる。
被積分関数を整理すると
$$ (1+\cos t)^2+\sin^2 t =1+2\cos t+\cos^2 t+\sin^2 t =2+2\cos t
$$
であり、
$$ 2+2\cos t=4\cos^2\frac{t}{2}
$$
だから
$$ L=\int_0^\pi 2\cos\frac{t}{2},dt
$$
となる。ここで $0\leqq t\leqq \pi$ では $0\leqq \dfrac{t}{2}\leqq \dfrac{\pi}{2}$ であり、$\cos\dfrac{t}{2}\geqq 0$ なので絶対値は不要である。
よって
$$ L=2\int_0^\pi \cos\frac{t}{2},dt =2\cdot 2\int_0^{\pi/2}\cos u,du
$$
とおけば
$$ L=4\left[\sin u\right]_0^{\pi/2}=4
$$
である。
（3） 曲線 $C$、$x$ 軸および直線 $x=\pi$ で囲まれた図形の面積
$0\leqq t\leqq \pi$ において
$$ \frac{dx}{dt}=1+\cos t\geqq 0
$$
であるから、$x$ は $t$ の増加とともに増える。
したがって、求める面積 $S$ は
$$ S=\int y,dx=\int_0^\pi y\frac{dx}{dt},dt
$$
である。
ここで
$$ y=1-\cos t,\qquad \frac{dx}{dt}=1+\cos t
$$
より
$$ S=\int_0^\pi (1-\cos t)(1+\cos t),dt =\int_0^\pi (1-\cos^2 t),dt =\int_0^\pi \sin^2 t,dt
$$
となる。
さらに
$$ \sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}
$$
を用いると
$$ S=\int_0^\pi \frac{1-\cos 2t}{2},dt =\frac12\left[t-\frac{\sin 2t}{2}\right]_0^\pi =\frac{\pi}{2}
$$
である。
解説
媒介変数表示の問題では、まず $\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}$ を求めるのが定石である。
（1） は媒介変数表示の微分公式そのものであり、（2） は弧長公式をそのまま適用するだけである。ただし、平方根の中を
$$ 4\cos^2\frac{t}{2}
$$
まで整理したあと、平方根を
$$ 2\cos\frac{t}{2}
$$
とできる理由として、区間内で $\cos\dfrac{t}{2}\geqq 0$ を確認する必要がある。
（3） は $x$ を媒介変数 $t$ の関数として見て、
$$ S=\int y,dx=\int y\frac{dx}{dt},dt
$$
と直ちに処理するのが最も自然である。媒介変数表示の面積計算ではこの形を使えるようにしておくべきである。
答え
**(1)**
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1+\cos t}=\tan\frac{t}{2}
$$
**(2)**
曲線 $C$ の長さは
$$ 4
$$
**(3)**
求める面積は
$$ \frac{\pi}{2}
$$