解説

方針・初手

求めるのは

$$ \int_{10}^{100}\log_{10}x,dx

$$

より小さい最大の自然数、すなわちこの定積分の値の整数部分である。

したがって、まず $\log_{10}x$ の原始関数を求め、その後に与えられた $0.434<\log_{10}e<0.435$ を用いて値の範囲を評価する。

解法1

$\log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}=(\log_{10}e)\ln x$ であるが、ここでは次の原始関数を用いるとよい。

$$ \begin{aligned} \int \log_{10}x,dx &= x\log_{10}x-(\log_{10}e)x+C \end{aligned} $$

実際、右辺を微分すると

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(x\log_{10}x-(\log_{10}e)x\right) &= \log_{10}x+\frac{1}{\ln 10}-\log_{10}e \\ \log_{10}x \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} \int_{10}^{100}\log_{10}x,dx &= \left[x\log_{10}x-(\log_{10}e)x\right]_{10}^{100} \end{aligned} $$

である。ここで $\log_{10}100=2,\ \log_{10}10=1$ より、

$$ \begin{aligned} \int_{10}^{100}\log_{10}x,dx &= \left(100\cdot 2-100\log_{10}e\right) -\left(10\cdot 1-10\log_{10}e\right) \\ &=200-100\log_{10}e-10+10\log_{10}e \\ &=190-90\log_{10}e \end{aligned}

$$

となる。

ここで

$$ 0.434<\log_{10}e<0.435

$$

より、両辺に $-90$ をかけて

$$ -39.06>-90\log_{10}e>-39.15

$$

すなわち

$$ 150.94>190-90\log_{10}e>150.85

$$

である。したがって

$$ 150.85<\int_{10}^{100}\log_{10}x,dx<150.94

$$

となるので、この値より小さい最大の自然数は

$$ 150

$$

である。

解説

この問題は、定積分を正確に計算したあと、近似値で評価して整数部分を決める問題である。

$\log_{10}x$ の積分公式

$$ \int \log_{10}x,dx=x\log_{10}x-(\log_{10}e)x+C

$$

を使えるかどうかが核心である。最後は与えられた $\log_{10}e$ の範囲を代入すれば、定積分の値が $150$ と $151$ の間にあることが確定する。

答え

$$ n=150

$$