解説

方針・初手

合成関数の導関数なので、まず外側の関数 $f$ の導関数 $f'(x)$ を求め、次に連鎖律を用いる。

$f(x)$ は積分で定義されているから、微分積分学の基本定理より被積分関数がそのまま $f'(x)$ になる。

解法1

$$ f(x)=\int_0^x \frac{1}{1+2t^2},dt

$$

より、微分積分学の基本定理から

$$ f'(x)=\frac{1}{1+2x^2}

$$

である。

ここで

$$ u=\frac{\tan x}{\sqrt{2}}

$$

とおくと、求める合成関数は $f(u)$ であるから、連鎖律により

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}f\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) &= f'(u)\cdot \frac{du}{dx} \end{aligned} $$

となる。

まず

$$ f'(u)=\frac{1}{1+2u^2}

$$

であり、$u=\dfrac{\tan x}{\sqrt{2}}$ を代入すると

$$ f'(u)=\frac{1}{1+2\left(\dfrac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)^2} =\frac{1}{1+\tan^2 x}

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \frac{du}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{d}{dx}(\tan x) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\sec^2 x \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}f\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) &= \frac{1}{1+\tan^2 x}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\sec^2 x \end{aligned} $$

となる。

ここで恒等式

$$ 1+\tan^2 x=\sec^2 x

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}f\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) &= \frac{1}{\sec^2 x}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\sec^2 x \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$

となる。

したがって、導関数は $x$ によらない定数であり、その値は

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}

$$

である。

解説

この問題の要点は、積分で定義された関数でも微分すると単純な形になることと、合成関数の微分では連鎖律を正しく使うことである。

特に

$$ 1+\tan^2 x=\sec^2 x

$$

によって $x$ を含む部分が完全に打ち消し合うことが、この導関数が定数になる理由である。

答え

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}

$$