解説

方針・初手

（1） は $x$ を $\pi-x$ に置き換えると，被積分関数のうち $\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$ の部分が符号反転することを使う。

（2） も同様に $x \mapsto \pi-x$ の対称性を用いる。すると積分中の $x$ を $\dfrac{\pi}{2}$ に置き換えた形に直せるので，あとは $u=\cos x$ の置換で計算すればよい。

解法1

**(1)**

$$ I=\int_0^\pi \left(x-\frac{\pi}{2}\right)f(x),dx

$$

とおく。

ここで $x=\pi-t$ と置換すると，$dx=-dt$ であるから，

$$ \begin{aligned} I &=\int_\pi^0 \left((\pi-t)-\frac{\pi}{2}\right)f(\pi-t)(-dt) \\ &=\int_0^\pi \left(\frac{\pi}{2}-t\right)f(\pi-t),dt \end{aligned}

$$

となる。条件 $f(\pi-t)=f(t)$ を用いると，

$$ I=\int_0^\pi \left(\frac{\pi}{2}-t\right)f(t),dt =-\int_0^\pi \left(t-\frac{\pi}{2}\right)f(t),dt =-I

$$

を得る。

したがって，

$$ I=-I

$$

より，

$$ 2I=0

$$

すなわち，

$$ \int_0^\pi \left(x-\frac{\pi}{2}\right)f(x),dx=0

$$

が成り立つ。

**(2)**

$$ I=\int_0^\pi \frac{x\sin^3 x}{4-\cos^2 x},dx

$$

とおく。また，

$$ g(x)=\frac{\sin^3 x}{4-\cos^2 x}

$$

とおけば，

$$ \sin(\pi-x)=\sin x,\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x

$$

であるから，

$$ g(\pi-x)=g(x)

$$

が成り立つ。

そこで $x=\pi-t$ と置換すると，

$$ \begin{aligned} I &=\int_0^\pi (\pi-t)g(t),dt \end{aligned}

$$

となる。これと

$$ I=\int_0^\pi tg(t),dt

$$

を足し合わせると，

$$ 2I=\pi\int_0^\pi g(x),dx

$$

したがって，

$$ I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi \frac{\sin^3 x}{4-\cos^2 x},dx

$$

となる。

よって，残りは

$$ J=\int_0^\pi \frac{\sin^3 x}{4-\cos^2 x},dx

$$

を求めればよい。

ここで $u=\cos x$ と置くと，$du=-\sin x,dx$ であり，

$$ \sin^2 x=1-\cos^2 x=1-u^2

$$

だから，

$$ \sin^3 x,dx=\sin^2 x\sin x,dx=-(1-u^2),du

$$

となる。積分区間は $x=0$ で $u=1$，$x=\pi$ で $u=-1$ なので，

$$ \begin{aligned} J &=\int_1^{-1} \frac{-(1-u^2)}{4-u^2},du \\ &=\int_{-1}^1 \frac{1-u^2}{4-u^2},du \\ &=\int_{-1}^1 \left(1-\frac{3}{4-u^2}\right)du \\ &=2-3\int_{-1}^1 \frac{du}{4-u^2} \end{aligned}

$$

ここで，

$$ \int \frac{du}{4-u^2} =\frac{1}{4}\log\left(\frac{2+u}{2-u}\right)

$$

であるから，

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^1 \frac{du}{4-u^2} &=\frac{1}{4}\left[\log\left(\frac{2+u}{2-u}\right)\right]_{-1}^1 \\ &=\frac{1}{4}\left(\log 3-\log \frac{1}{3}\right) \\ &=\frac{1}{2}\log 3 \end{aligned}

$$

したがって，

$$ J=2-\frac{3}{2}\log 3

$$

であり，

$$ I=\frac{\pi}{2}J =\frac{\pi}{2}\left(2-\frac{3}{2}\log 3\right) =\pi-\frac{3\pi}{4}\log 3

$$

を得る。

解説

この問題の要点は，どちらも $x$ と $\pi-x$ を対応させる対称性にある。

（1） では，条件 $f(\pi-x)=f(x)$ に対して，係数 $x-\dfrac{\pi}{2}$ が $\pi-x$ によって符号反転する。そのため積分全体が自分自身のマイナスとなり，$0$ であることが分かる。

（2） でも同じ対称性を使うことで，被積分関数中の $x$ を平均値 $\dfrac{\pi}{2}$ に置き換えた形にできる。こうして複雑に見える積分が，$u=\cos x$ の単純な有理式積分に帰着される。対称性を先に使うことが計算を大きく簡単にする典型例である。

答え

**(1)**

$$ \int_0^\pi \left(x-\frac{\pi}{2}\right)f(x),dx=0

$$

**(2)**

$$ \int_0^\pi \frac{x\sin^3 x}{4-\cos^2 x},dx =\pi-\frac{3\pi}{4}\log 3

$$