解説

方針・初手

$e^x$ がまとまって現れているので、$t=e^x$ とおくと有理関数の積分に帰着できる。 その後は部分分数分解をして計算するのが自然である。

解法1

与えられた積分を

$$ I=\int_0^{\frac{\log 3}{2}}\frac{e^x+1}{e^{2x}+1},dx

$$

とおく。

ここで

$$ t=e^x

$$

とおくと、

$$ dt=e^x,dx=t,dx \quad \Longrightarrow \quad dx=\frac{dt}{t}

$$

である。また、積分区間は

$$ x=0 \Rightarrow t=1,\qquad x=\frac{\log 3}{2} \Rightarrow t=e^{\frac{\log 3}{2}}=\sqrt{3}

$$

となる。したがって

$$ I=\int_1^{\sqrt{3}}\frac{t+1}{t^2+1}\cdot \frac{1}{t},dt =\int_1^{\sqrt{3}}\frac{t+1}{t(t^2+1)},dt

$$

を得る。

ここで部分分数分解を行う。

$$ \frac{t+1}{t(t^2+1)} =\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{t^2+1}

$$

とおくと、

$$ t+1=A(t^2+1)+t(Bt+C) =(A+B)t^2+Ct+A

$$

であるから、係数比較により

$$ A=1,\qquad C=1,\qquad A+B=0

$$

すなわち

$$ A=1,\qquad B=-1,\qquad C=1

$$

となる。よって

$$ \frac{t+1}{t(t^2+1)} =\frac{1}{t}+\frac{-t+1}{t^2+1}

$$

である。

したがって

$$ I=\int_1^{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{t}+\frac{-t+1}{t^2+1}\right),dt

$$

となり、項別に積分して

$$ I=\left[\log t-\frac12\log(t^2+1)+\arctan t\right]_1^{\sqrt{3}}

$$

を得る。

ここで

$$ \log \sqrt{3}=\frac12\log 3,\qquad (\sqrt{3})^2+1=4,\qquad \arctan \sqrt{3}=\frac{\pi}{3},\qquad \arctan 1=\frac{\pi}{4}

$$

より、

$$ \begin{aligned} I &=\left(\frac12\log 3-\frac12\log 4+\frac{\pi}{3}\right) -\left(0-\frac12\log 2+\frac{\pi}{4}\right) \\ &=\frac12\log 3-\log 2+\frac12\log 2+\frac{\pi}{12} \\ &=\frac12\log\frac32+\frac{\pi}{12} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題は、指数関数が $e^x,e^{2x}$ の形で現れているため、$t=e^x$ と置くと一気に整う典型例である。 置換後は

$$ \frac{t+1}{t(t^2+1)}

$$

という有理関数になるので、あとは部分分数分解で処理できる。

特に、上端

$$ e^{\frac{\log 3}{2}}=\sqrt{3}

$$

を正しく変換できるかが重要である。また、最後に $\arctan \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$ を用いる点も見落としやすい。

答え

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\log 3}{2}}\frac{e^x+1}{e^{2x}+1},dx &= \frac12\log\frac32+\frac{\pi}{12} \end{aligned} $$