解説

方針・初手

まず

$$ I=\int_0^1 f(t),dt

$$

とおく。すると与式は $I$ を定数として含む形になり、

$$ f(x)=(x^2+axI-1)e^x

$$

と書ける。あとはこの式を $0$ から $1$ まで積分して $I$ を決定すれば、$f(x)$ が具体的に求まる。

解法1

$ I=\displaystyle \int_0^1 f(t),dt $ とおくと、与式より

$$ f(x)=(x^2+axI-1)e^x

$$

である。

これを $x=t$ として $0$ から $1$ まで積分すると、

$$ I=\int_0^1 (t^2+atI-1)e^t,dt

$$

となる。右辺を分けると、

$$ I=\int_0^1 (t^2-1)e^t,dt+aI\int_0^1 te^t,dt

$$

である。

ここで

$$ \int_0^1 (t^2-1)e^t,dt =\left[e^t(t-1)^2\right]_0^1 =-1

$$

また

$$ \int_0^1 te^t,dt =\left[e^t(t-1)\right]_0^1 =1

$$

より、

$$ I=-1+aI

$$

したがって

$$ (1-a)I=-1

$$

である。よって、与えられた条件を満たす関数が存在するなら $a\neq 1$ であり、

$$ I=\frac{1}{a-1}

$$

となる。

したがって

$$ f(x)=\left(x^2+\frac{a}{a-1}x-1\right)e^x

$$

を得る。

次に、$x=1$ で極値をとる条件を調べる。$b=\dfrac{a}{a-1}$ とおくと

$$ f(x)=(x^2+bx-1)e^x

$$

であるから、

$$ f'(x)={2x+b+x^2+bx-1}e^x ={x^2+(b+2)x+(b-1)}e^x

$$

となる。

$x=1$ で極値をとるためには、まず $f'(1)=0$ が必要である。実際、

$$ f'(1)={1+(b+2)+(b-1)}e=2(b+1)e

$$

であるから、

$$ f'(1)=0 \iff b=-1

$$

すなわち

$$ \frac{a}{a-1}=-1

$$

より

$$ a=\frac12

$$

である。

このとき

$$ f(x)=(x^2-x-1)e^x

$$

であり、

$$ f'(x)={x^2+x-2}e^x=(x-1)(x+2)e^x

$$

となる。

$e^x>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $(x-1)(x+2)$ の符号で決まる。したがって、

• $x<-2$ で $f'(x)>0$
• $-2<x<1$ で $f'(x)<0$
• $x>1$ で $f'(x)>0$

である。

よって $x=-2$ で極大、$x=1$ で極小をとる。

それぞれの値は

$$ f(-2)=(4+2-1)e^{-2}=\frac{5}{e^2}

$$

$$ f(1)=(1-1-1)e=-e

$$

である。

解説

この問題の要点は、与式に現れる

$$ \int_0^1 f(t),dt

$$

をひとつの定数 $I$ とみなすことである。そうすると関数方程式が実質的に係数未定の形になり、積分して自己一致条件を作れば $I$ が決まる。

また、$x=1$ で極値をとるかどうかは、微分可能な関数である以上、まず $f'(1)=0$ を満たすかどうかで判定できる。さらに、その後は導関数の符号変化を見れば極大か極小かが確定する。

答え

**(1)**

$$ f(x)=\left(x^2+\frac{a}{a-1}x-1\right)e^x

$$

ただし、与えられた条件を満たす関数が存在するためには $a\neq 1$ である。

**(2)**

$$ a=\frac12

$$

**(3)**

$a=\dfrac12$ のとき

$$ f(x)=(x^2-x-1)e^x

$$

であり、極大値は

$$ \frac{5}{e^2}\quad (x=-2)

$$

極小値は

$$ -e\quad (x=1)

$$

である。