解説

方針・初手

与えられた媒介変数表示

$$ x=t\cos t,\quad y=t\sin t\quad (t>0)

$$

は、極座標で見ると

$$ r=t,\quad \theta=t

$$

を表している。したがって曲線 $C$ はアルキメデスのらせんである。

この見方を使うと、$x$ 軸との交点は $\theta$ が $2\pi$ の整数倍のときに現れ、接線の傾きは媒介変数表示の微分

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}

$$

で求められる。また、（4） の面積は極座標の面積公式を使うと最も自然に処理できる。

解法1

（1） 速度ベクトルを求める。

時刻 $t$ における位置ベクトルは

$$ \vec{r}(t)=(t\cos t,\ t\sin t)

$$

であるから、速度ベクトル $\vec{v}$ はこれを $t$ で微分して

$$ \vec{v}(t)=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right) =\left(\cos t-t\sin t,\ \sin t+t\cos t\right)

$$

となる。

---

（2） 点 $P_k$ における接線 $L_k$ の方程式を求める。

まず、曲線 $C$ と $x$ 軸の正の部分との交点を求める。 $x$ 軸上では $y=0$ であるから

$$ t\sin t=0

$$

である。ここで $t>0$ より $\sin t=0$、すなわち

$$ t=n\pi\quad (n=1,2,3,\dots)

$$

である。さらに $x=t\cos t>0$ でなければならないから $\cos t>0$、したがって $n$ は偶数である。

よって

$$ t=2k\pi\quad (k=1,2,3,\dots)

$$

のときが求める交点であり、

$$ P_k=(2k\pi,0)

$$

である。

次に接線の傾きを求める。媒介変数表示の微分より

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{\sin t+t\cos t}{\cos t-t\sin t}

$$

である。$t=2k\pi$ を代入すると

$$ \left.\frac{dx}{dt}\right|*{t=2k\pi}=1,\qquad \left.\frac{dy}{dt}\right|*{t=2k\pi}=2k\pi

$$

であるから、接線の傾きは

$$ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=2k\pi}=2k\pi

$$

となる。

したがって、点 $P_k=(2k\pi,0)$ を通る接線 $L_k$ の方程式は

$$ y=2k\pi(x-2k\pi)

$$

である。

---

（3） 接線 $L_k$ と $L_{k+1}$ の交点を $Q_k$ とする。$Q_1,Q_2,Q_3,\dots$ が 1 つの放物線上にあることを示し、その方程式を求める。

$L_k,\ L_{k+1}$ はそれぞれ

$$ y=2k\pi(x-2k\pi), \qquad y=2(k+1)\pi(x-2(k+1)\pi)

$$

である。この 2 式を連立すると

$$ 2k\pi(x-2k\pi)=2(k+1)\pi(x-2(k+1)\pi)

$$

より、$2\pi$ で割って

$$ k(x-2k\pi)=(k+1)(x-2(k+1)\pi)

$$

となる。これを整理すると

$$ x=2(2k+1)\pi

$$

である。

これを $L_k$ に代入すると

$$ y=2k\pi{2(2k+1)\pi-2k\pi} =2k\pi\cdot 2(k+1)\pi =4k(k+1)\pi^2

$$

となる。したがって

$$ Q_k=\left(2(2k+1)\pi,\ 4k(k+1)\pi^2\right)

$$

である。

ここで $x=2(2k+1)\pi$ より

$$ x^2=4(2k+1)^2\pi^2 =4(4k^2+4k+1)\pi^2 =16k(k+1)\pi^2+4\pi^2

$$

であるから

$$ 4k(k+1)\pi^2=\frac{x^2-4\pi^2}{4}

$$

となる。ゆえに $Q_k$ の $y$ 座標は

$$ y=\frac{x^2}{4}-\pi^2

$$

を満たす。

したがって、$Q_1,Q_2,Q_3,\dots$ はすべて

$$ y=\frac{x^2}{4}-\pi^2

$$

という放物線上にある。

---

（4） 曲線 $C$ の $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ の部分と $y$ 軸とで囲まれた部分の面積を求める。

この部分では極座標で

$$ r=t,\quad \theta=t,\quad 0\le t\le \frac{\pi}{2}

$$

であるから、結局

$$ r=\theta\qquad \left(0\le \theta\le \frac{\pi}{2}\right)

$$

で囲まれた部分の面積を求めればよい。

極座標の面積公式より、面積 $S$ は

$$ S=\frac12\int_0^{\pi/2} r^2,d\theta

$$

である。ここで $r=\theta$ だから

$$ S=\frac12\int_0^{\pi/2}\theta^2,d\theta =\frac12\left[\frac{\theta^3}{3}\right]_0^{\pi/2} =\frac12\cdot\frac{(\pi/2)^3}{3} =\frac{\pi^3}{48}

$$

となる。

解説

この問題の要点は、媒介変数表示

$$ x=t\cos t,\quad y=t\sin t

$$

を見て、すぐに極座標

$$ r=t,\quad \theta=t

$$

と読み替えることである。これにより曲線の形がらせんであること、$x$ 軸との交点が $t=2k\pi$ であること、（4） の面積が極座標で簡潔に求まることが一気に見通せる。

一方、接線の問題では極座標に移るよりも、媒介変数表示のまま

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}

$$

を使うのが最短である。特に $t=2k\pi$ では $\dfrac{dx}{dt}=1$ となるので、傾きがそのまま $\dfrac{dy}{dt}$ に等しくなる点も見やすい。

（3） では、まず各接線を具体的に式で書き、交点を連立して座標で求めるのが確実である。その後、媒介変数 $k$ を消去すると放物線が現れる。

答え

**(1)**

速度ベクトルは

$$ \vec{v}(t)=\left(\cos t-t\sin t,\ \sin t+t\cos t\right)

$$

である。

**(2)**

$$ P_k=(2k\pi,0)\qquad (k=1,2,3,\dots)

$$

であり、点 $P_k$ における接線 $L_k$ は

$$ y=2k\pi(x-2k\pi)

$$

である。

**(3)**

$$ Q_k=\left(2(2k+1)\pi,\ 4k(k+1)\pi^2\right)

$$

であり、これらはすべて放物線

$$ y=\frac{x^2}{4}-\pi^2

$$

上にある。

**(4)**

求める面積は

$$ \frac{\pi^3}{48}

$$

である。