解説

方針・初手

分母が $\sqrt{x^2+4}$ であるから、分子 $2x+1$ を $2x$ と $1$ に分けると処理しやすい。

$2x$ の部分は $x^2+4$ の微分になっており、残った $1$ の部分は三角比の置換 $x=2\tan\theta$ で計算できる。

解法1

求める積分を

$$ I=\int_0^2 \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}},dx

$$

とおく。

まず、分子を分けて

$$ I=\int_0^2 \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}},dx+\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{x^2+4}},dx

$$

とする。

第1項は、そのまま微分の形を見れば

$$ \int \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}},dx=2\sqrt{x^2+4}

$$

ではないので注意が必要である。実際には

$$ \frac{d}{dx}\sqrt{x^2+4}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

$$

であるから、

$$ \int \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}},dx=2\sqrt{x^2+4}

$$

ではなく、

$$ \int \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}},dx=2\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}},dx=2\sqrt{x^2+4}

$$

となる。したがって定積分は

$$ \int_0^2 \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}},dx =2\sqrt{2^2+4}-2\sqrt{0^2+4} =2\sqrt{8}-2\sqrt{4} =4\sqrt{2}-4

$$

ではないかと見えそうであるが、ここでも係数の扱いを丁寧に見る。

実際には

$$ \frac{d}{dx}\sqrt{x^2+4}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

$$

であるから、

$$ \int_0^2 \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}},dx =2\left[\sqrt{x^2+4}\right]_0^2 =2(2\sqrt{2}-2) =4\sqrt{2}-4

$$

となる。

次に第2項を計算する。ここで

$$ x=2\tan\theta

$$

とおくと、

$$ dx=2\sec^2\theta,d\theta,\qquad \sqrt{x^2+4}=\sqrt{4\tan^2\theta+4}=2\sec\theta

$$

である。また、$x=0$ のとき $\theta=0$、$x=2$ のとき $\theta=\frac{\pi}{4}$ である。

よって

$$ \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{x^2+4}},dx =\int_0^{\pi/4}\frac{1}{2\sec\theta}\cdot 2\sec^2\theta,d\theta =\int_0^{\pi/4}\sec\theta,d\theta

$$

となる。

ここで

$$ \int \sec\theta,d\theta=\log|\sec\theta+\tan\theta|

$$

を用いると、

$$ \int_0^{\pi/4}\sec\theta,d\theta =\left[\log(\sec\theta+\tan\theta)\right]_0^{\pi/4} =\log(\sqrt{2}+1)-\log 1 =\log(1+\sqrt{2})

$$

である。

したがって

$$ I=(4\sqrt{2}-4)+\log(1+\sqrt{2})

$$

となる。

解説

この問題の核心は、分子 $2x+1$ をそのまま扱わず、$2x$ と $1$ に分けることである。

$\sqrt{x^2+4}$ の微分に $x$ が現れるので、$2x$ の部分は直接処理できる。一方、$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}$ は典型的に $x=a\tan\theta$ の置換で処理する形である。

このように、分子を分解して「微分で処理できる部分」と「三角置換が必要な部分」に分けるのが標準的な方針である。

答え

$$ \int_0^2 \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}},dx =4\sqrt{2}-4+\log(1+\sqrt{2})

$$