基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題91 解説
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解説
方針・初手
分母に $\sqrt{x+1}+1$ があるので、有理化できないかを見るのが初手である。
実際、
$$ x=(x+1)-1=(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}-1)
$$
が成り立つので、被積分関数は大きく簡単になる。
解法1
与えられた積分を
$$ \int \frac{x}{\sqrt{x+1}+1},dx
$$
とする。
ここで、
$$ x=(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}-1)
$$
より、
$$ \frac{x}{\sqrt{x+1}+1}=\sqrt{x+1}-1
$$
である。
したがって、
$$ \begin{aligned} \int \frac{x}{\sqrt{x+1}+1},dx &= \int (\sqrt{x+1}-1),dx \end{aligned} $$
となる。
あとは項別に積分すればよい。
まず
$$ \int \sqrt{x+1},dx
$$
について、$u=x+1$ とおくと $du=dx$ であるから、
$$ \begin{aligned} \int \sqrt{x+1},dx &= \int u^{1/2},du \\ \frac{2}{3}u^{3/2} \\ \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} \end{aligned} $$
である。
また、
$$ \int 1,dx=x
$$
である。
よって、
$$ \begin{aligned} \int \frac{x}{\sqrt{x+1}+1},dx &= \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-x+C \end{aligned} $$
となる。
解説
この問題の要点は、分母を有理化することではなく、分子 $x$ を
$$ x=(x+1)-1
$$
と見て
$$ x=(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}-1)
$$
と因数分解することである。
これにより分数の形が消え、基本的な積分に直せる。置換積分から入ってもよいが、この変形に気づくと最も速い。
答え
$$ \begin{aligned} \int \frac{x}{\sqrt{x+1}+1},dx &= \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-x+C \end{aligned} $$