基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題92 解説
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解説
方針・初手
分母が $2+\cos x$、分子に $\sin x \cos x$ があるので、$\cos x$ を文字に置き換えるのが自然である。
このとき $d(\cos x)=-\sin x,dx$ となるため、分子の $\sin x,dx$ をまとめて処理できる。
解法1
求める不定積分を
$$ I=\int \frac{\sin x\cos x}{2+\cos x},dx
$$
とする。
ここで
$$ t=\cos x
$$
とおくと、
$$ dt=-\sin x,dx
$$
であるから、
$$ I=-\int \frac{t}{2+t},dt
$$
となる。
ここで被積分関数を分解すると、
$$ \frac{t}{t+2}=1-\frac{2}{t+2}
$$
であるから、
$$ I=-\int \left(1-\frac{2}{t+2}\right)dt
$$
$$ =-\left(t-2\log|t+2|\right)+C
$$
$$ =-t+2\log|t+2|+C
$$
最後に $t=\cos x$ を戻して、
$$ I=-\cos x+2\log|2+\cos x|+C
$$
を得る。
なお、$\cos x$ の値域は $-1\leqq \cos x\leqq 1$ であるから、
$$ 1\leqq 2+\cos x\leqq 3
$$
となり、$2+\cos x>0$ が常に成り立つ。したがって絶対値は外してよい。
よって、
$$ I=-\cos x+2\log(2+\cos x)+C
$$
である。
解説
この問題では、分母が $2+\cos x$ であり、その微分に $\sin x$ が現れることに気づけるかがポイントである。
実際、$\cos x$ で置換すると積分は有理関数の形に直り、あとは
$$ \frac{t}{t+2}=1-\frac{2}{t+2}
$$
と分解するだけで基本積分に帰着する。
三角関数の不定積分では、分母や合成関数の中身の微分が分子に含まれていないかを最初に確認するのが基本である。
答え
$$ \begin{aligned} \int \frac{\sin x\cos x}{2+\cos x},dx &= -\cos x+2\log(2+\cos x)+C \end{aligned} $$