基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題93 解説
数学3の積分法「定積分・面積」にある問題93の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$t=\tan \dfrac{x}{2}$ とおくと，半角の公式
$$ \sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2},\qquad \cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}
$$
を用いて $\sin x,\cos x$ を $t$ で表せる。
さらに，$t=\tan \dfrac{x}{2}$ を微分すれば $\dfrac{dx}{dt}$ も求まる。 （3） はこれらを用いて $x$ の積分を $t$ の有理式の積分に直す。
解法1
まず
$$ t=\tan \frac{x}{2} =\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}
$$
より，
$$ \sin \frac{x}{2}=t\cos \frac{x}{2}
$$
である。また，
$$ \sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}=1
$$
に代入すると，
$$ t^2\cos^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}=1
$$
したがって，
$$ \cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+t^2},\qquad \sin^2\frac{x}{2}=\frac{t^2}{1+t^2}
$$
を得る。
（1） $\sin x,\cos x$ を $t$ で表す
$\sin x=2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}$ より，
$$ \sin x =2\left(t\cos \frac{x}{2}\right)\cos \frac{x}{2} =2t\cos^2\frac{x}{2} =\frac{2t}{1+t^2}
$$
である。
また，
$$ \cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2} =\frac{1}{1+t^2}-\frac{t^2}{1+t^2} =\frac{1-t^2}{1+t^2}
$$
となる。
（2） $\dfrac{dx}{dt}$ を $t$ で表す
$$ t=\tan \frac{x}{2}
$$
を $x$ で微分すると，
$$ \frac{dt}{dx} =\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2} =\frac{1}{2}\left(1+\tan^2\frac{x}{2}\right) =\frac{1+t^2}{2}
$$
よって，
$$ \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}
$$
である。
（3） 不定積分を求める
求める積分を
$$ I=\int \frac{5}{3\sin x+4\cos x},dx
$$
とする。
（1） の結果を用いると，
$$ 3\sin x+4\cos x =3\cdot \frac{2t}{1+t^2}+4\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} =\frac{6t+4-4t^2}{1+t^2}
$$
である。また （2） より，
$$ dx=\frac{2}{1+t^2},dt
$$
だから，
$$ I =\int \frac{5}{\dfrac{6t+4-4t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2},dt =\int \frac{10}{-4t^2+6t+4},dt
$$
となる。
ここで分母を因数分解すると，
$$ -4t^2+6t+4=-2(2t+1)(t-2)
$$
であるから，
$$ I=\int \frac{-5}{(2t+1)(t-2)},dt
$$
となる。これを部分分数分解すると，
$$ \frac{-5}{(2t+1)(t-2)} =\frac{2}{2t+1}-\frac{1}{t-2}
$$
である。したがって，
$$ I =\int \left(\frac{2}{2t+1}-\frac{1}{t-2}\right)dt
$$
$$ =\log|2t+1|-\log|t-2|+C
$$
$$ =\log \left|\frac{2t+1}{t-2}\right|+C
$$
最後に $t=\tan \dfrac{x}{2}$ を戻して，
$$ I=\log \left|\frac{2\tan \frac{x}{2}+1}{\tan \frac{x}{2}-2}\right|+C
$$
を得る。
解説
この問題の要点は，$t=\tan \dfrac{x}{2}$ とおくと $\sin x,\cos x,dx$ がすべて $t$ の有理式になることである。すると三角関数を含む積分が，部分分数分解で処理できる有理関数の積分に変わる。
特に
$$ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2}{1+t^2},dt
$$
は半角置換の基本公式として重要である。
答え
**(1)**
$$ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}
$$
**(2)**
$$ \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}
$$
**(3)**
$$ \int \frac{5}{3\sin x+4\cos x},dx =\log \left|\frac{2\tan \frac{x}{2}+1}{\tan \frac{x}{2}-2}\right|+C
$$