解説

方針・初手

被積分関数

$$ \frac{t}{t^2+1}

$$

は原始関数をもつので，まず積分を具体的に計算して $f(x)$ を式で表す。その後，(1) は $f(x)=0$ を解き，(2) は $f'(x)$ を求めて方程式を解く。(3) は $f'(x)$ の符号と $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)$ を調べれば，全体としての最小値まで決定できる。

解法1

$\displaystyle \frac{t}{t^2+1}$ の原始関数は

$$ \int \frac{t}{t^2+1},dt=\frac12\log(t^2+1)

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} f(x) &=\int_{-x}^{x+4}\frac{t}{t^2+1},dt \\ &=\left[\frac12\log(t^2+1)\right]_{-x}^{x+4} \\ &=\frac12\log\bigl((x+4)^2+1\bigr)-\frac12\log(x^2+1) \\ &=\frac12\log\frac{(x+4)^2+1}{x^2+1}. \end{aligned}

$$

（1） $f(x)=0$ となる $x$

$f(x)=0$ は

$$ \frac12\log\frac{(x+4)^2+1}{x^2+1}=0

$$

と同値である。対数関数の性質より

$$ \frac{(x+4)^2+1}{x^2+1}=1

$$

となるから，

$$ (x+4)^2+1=x^2+1

$$

すなわち

$$ x^2+8x+16=x^2

$$

より

$$ 8x+16=0.

$$

したがって

$$ x=-2

$$

である。

（2） $f'(x)=0$ となる $x$

上で求めた式を微分すると

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\frac12\left(\frac{2(x+4)}{(x+4)^2+1}-\frac{2x}{x^2+1}\right) \\ &=\frac{x+4}{(x+4)^2+1}-\frac{x}{x^2+1}. \end{aligned}

$$

これを整理すると

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{(x+4)(x^2+1)-x{(x+4)^2+1}}{{(x+4)^2+1}(x^2+1)} \\ &=\frac{-4(x^2+4x-1)}{{(x+4)^2+1}(x^2+1)}. \end{aligned}

$$

分母は常に正であるから，

$$ f'(x)=0

$$

は

$$ x^2+4x-1=0

$$

と同値である。よって

$$ x=-2\pm\sqrt5

$$

である。

（3） $f(x)$ が最小値をもつことと，その最小値

$f'(x)$ の符号は

$$ f'(x)=\frac{-4(x^2+4x-1)}{{(x+4)^2+1}(x^2+1)}

$$

より，$x^2+4x-1=(x+2)^2-5$ の符号で決まる。

したがって

• $x<-2-\sqrt5$ では $f'(x)<0$
• $-2-\sqrt5<x<-2+\sqrt5$ では $f'(x)>0$
• $x>-2+\sqrt5$ では $f'(x)<0$

となる。

よって $x=-2-\sqrt5$ で極小，$x=-2+\sqrt5$ で極大である。

さらに，

$$ f(x)=\frac12\log\frac{(x+4)^2+1}{x^2+1}

$$

より，

$$ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac12\log 1=0

$$

である。したがって，$x\to\pm\infty$ で $f(x)$ は $0$ に近づき，その途中で $x=-2-\sqrt5$ において極小をとるから，これが全体の最小値である。

そこで $x=-2-\sqrt5$ を代入する。

$$ \begin{aligned} f(-2-\sqrt5) &=\frac12\log\frac{(2-\sqrt5)^2+1}{(-2-\sqrt5)^2+1} \\ &=\frac12\log\frac{9-4\sqrt5+1}{9+4\sqrt5+1} \\ &=\frac12\log\frac{10-4\sqrt5}{10+4\sqrt5}. \end{aligned}

$$

ここで

$$ \frac{10-4\sqrt5}{10+4\sqrt5}=9-4\sqrt5=(\sqrt5-2)^2

$$

であるから，

$$ f(-2-\sqrt5)=\frac12\log(\sqrt5-2)^2=\log(\sqrt5-2).

$$

よって最小値は

$$ \log(\sqrt5-2)

$$

である。

解説

この問題の要点は，定積分で定義された関数をそのまま扱うのではなく，まず積分を実行して対数関数に直すことである。そうすると (1) は単なる方程式，(2) は有理式の微分問題になる。

また，(3) では極小値と最小値を混同しないことが重要である。今回は $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ を確認することで，局所的な極小が全体の最小値であることまで確定できる。

答え

**(1)**

$$ x=-2

$$

**(2)**

$$ x=-2\pm\sqrt5

$$

**(3)**

$f(x)$ は最小値をもち，その最小値は

$$ \log(\sqrt5-2)

$$

であり，それは

$$ x=-2-\sqrt5

$$

のときにとる。