解説

方針・初手

$e^{-2x}\sin 2x$ は指数関数と三角関数の積であるから、部分積分を2回行うと元の積分に戻る形になる。そこで、積分全体を $I$ とおいて整理する。

解法1

求める不定積分を

$$ I=\int e^{-2x}\sin 2x,dx

$$

とおく。

まず、部分積分を行う。 $u=\sin 2x,\ dv=e^{-2x}dx$ とすると、

$$ du=2\cos 2x,dx,\qquad v=-\frac12 e^{-2x}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} I &=uv-\int v,du \\ &=-\frac12 e^{-2x}\sin 2x-\int \left(-\frac12 e^{-2x}\right)\cdot 2\cos 2x,dx \\ &=-\frac12 e^{-2x}\sin 2x+\int e^{-2x}\cos 2x,dx \end{aligned}

$$

となる。ここで

$$ J=\int e^{-2x}\cos 2x,dx

$$

とおく。

次に $J$ に対して同様に部分積分を行う。 $u=\cos 2x,\ dv=e^{-2x}dx$ とすると、

$$ du=-2\sin 2x,dx,\qquad v=-\frac12 e^{-2x}

$$

より、

$$ \begin{aligned} J &=uv-\int v,du \\ &=-\frac12 e^{-2x}\cos 2x-\int \left(-\frac12 e^{-2x}\right)\cdot (-2\sin 2x),dx \\ &=-\frac12 e^{-2x}\cos 2x-\int e^{-2x}\sin 2x,dx \\ &=-\frac12 e^{-2x}\cos 2x-I \end{aligned}

$$

となる。

これを先ほどの式に代入すると、

$$ \begin{aligned} I &=-\frac12 e^{-2x}\sin 2x+J \\ &=-\frac12 e^{-2x}\sin 2x-\frac12 e^{-2x}\cos 2x-I \end{aligned}

$$

したがって、

$$ 2I=-\frac12 e^{-2x}(\sin 2x+\cos 2x)

$$

ゆえに、

$$ I=-\frac14 e^{-2x}(\sin 2x+\cos 2x)+C

$$

となる。

解説

指数関数と三角関数の積の不定積分では、部分積分を1回で終えようとせず、2回行って元の積分に戻すのが典型である。 この問題では、途中で新たな積分 $J$ を置いて整理すると見通しがよい。最後に $I$ について解くのが要点である。

答え

$$ \int e^{-2x}\sin 2x,dx=-\frac14 e^{-2x}(\sin 2x+\cos 2x)+C

$$