解説

方針・初手

右辺の

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t),dt

$$

は $x$ によらない定数である。そこで

$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t),dt

$$

とおくと、与えられた等式は

$$ f(x)=\sin^2 x+I

$$

と書ける。あとはこの式を区間 $[0,\frac{\pi}{2}]$ で積分して $I$ を決定すればよい。

解法1

$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t),dt

$$

とおくと、条件よりすべての実数 $x$ に対して

$$ f(x)=\sin^2 x+I

$$

である。

この式の $x$ を $t$ に書き換えて、$0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで積分すると

$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t,dt+\int_0^{\frac{\pi}{2}} I,dt

$$

となる。

ここで

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t,dt=\frac{\pi}{4}, \qquad \int_0^{\frac{\pi}{2}} I,dt=\frac{\pi}{2}I

$$

であるから、

$$ I=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}I

$$

を得る。これを解くと

$$ \left(1-\frac{\pi}{2}\right)I=\frac{\pi}{4}

$$

より

$$ I=\frac{\frac{\pi}{4}}{1-\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{4-2\pi}

$$

である。

したがって

$$ f(x)=\sin^2 x+\frac{\pi}{4-2\pi}

$$

となる。

解説

積分方程式で、積分区間が固定されていて積分変数が $x$ と独立であるとき、その積分部分はまず定数とみなすのが基本である。

本問では $f(x)$ の形自体はすぐに

$$ f(x)=\sin^2 x+\text{定数}

$$

と分かる。そこでその定数を実際に積分して求めるだけで解決する。複雑に見えても、未知数が関数ではなく実質的に「定数1個」に落ちるのが要点である。

答え

$$ f(x)=\sin^2 x+\frac{\pi}{4-2\pi}

$$

である。