解説

方針・初手

絶対値を外すために、積分区間を $x=a$ で分けるのが自然である。

すると $S(a)$ は $a$ を含む通常の積分式に書き直せるので、まず $S(a)$ を具体的に求め、ついで微分して極値を調べればよい。

解法1

$0<a<\dfrac{\pi}{2}$ であるから、$|x-a|$ は $x=a$ を境に

$$ |x-a|= \begin{cases} a-x & (0\leqq x\leqq a),\\ x-a & (a\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}) \end{cases}

$$

となる。したがって

$$ S(a)=\int_0^a (a-x)\sin x,dx+\int_a^{\pi/2}(x-a)\sin x,dx

$$

である。

まず第1項を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^a (a-x)\sin x,dx &= a\int_0^a \sin x,dx-\int_0^a x\sin x,dx \end{aligned} $$

ここで

$$ \int x\sin x,dx=-x\cos x+\sin x

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^a (a-x)\sin x,dx &=a(1-\cos a)-\left[-x\cos x+\sin x\right]_0^a\\ &=a(1-\cos a)-(-a\cos a+\sin a)\\ &=a-\sin a \end{aligned}

$$

次に第2項を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_a^{\pi/2}(x-a)\sin x,dx &= \int_a^{\pi/2}x\sin x,dx-a\int_a^{\pi/2}\sin x,dx \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} \int_a^{\pi/2}(x-a)\sin x,dx &=\left[-x\cos x+\sin x\right]_a^{\pi/2}-a\left[-\cos x\right]_a^{\pi/2}\\ &=\left(1-(-a\cos a+\sin a)\right)-a\cos a\\ &=1-\sin a \end{aligned}

$$

よって

$$ S(a)=(a-\sin a)+(1-\sin a)=a+1-2\sin a

$$

を得る。

これを微分すると

$$ S'(a)=1-2\cos a

$$

さらに

$$ S''(a)=2\sin a

$$

であり、$0<a<\dfrac{\pi}{2}$ では $\sin a>0$ だから

$$ S''(a)>0

$$

である。したがって $S(a)$ はこの区間で下に凸であり、$S'(a)=0$ を満たす点で最小となる。

$$ 1-2\cos a=0

$$

より

$$ \cos a=\frac12

$$

したがって

$$ a=\frac{\pi}{3}

$$

である。

このときの値は

$$ \begin{aligned} S\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{\pi}{3}+1-2\sin\frac{\pi}{3} \\ \frac{\pi}{3}+1-\sqrt{3} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、絶対値を含む積分ではまず符号が変わる点で区間を分けることである。

その後は $a$ の関数として整理し、微分して最小値を調べればよい。$S''(a)>0$ が成り立つので、臨界点がただ1つ見つかればそれが最小点であると確定できる。

答え

最小となるのは

$$ a=\frac{\pi}{3}

$$

のときであり、その最小値は

$$ 1+\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}

$$

である。