解説

方針・初手

まず分子の次数が分母の次数より高いので，多項式の割り算を行う。その後に残る有理式を部分分数分解すれば，不定積分は基本形に直せる。

解法1

被積分関数について，多項式の割り算を行う。

$$ \frac{2x^3+3x^2-8x-13}{x^2-4} =2x+3+\frac{-1}{x^2-4} \quad \left( (x^2-4)(2x+3)=2x^3+3x^2-8x-12 \right)

$$

したがって，

$$ \begin{aligned} \int \frac{2x^3+3x^2-8x-13}{x^2-4},dx &= \int \left( 2x+3-\frac{1}{x^2-4} \right),dx \end{aligned} $$

となる。

ここで，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{x^2-4} &= \frac{1}{(x-2)(x+2)} \\ \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2} \end{aligned} $$

とおくと，

$$ 1=A(x+2)+B(x-2)

$$

であるから，$x=2,-2$ を代入して

$$ A=\frac14,\quad B=-\frac14

$$

を得る。よって，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{x^2-4} &= \frac14\left( \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2} \right) \end{aligned} $$

したがって，

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{x^2-4} &= -\frac14\left( \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2} \right) \\ \frac14\left( \frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2} \right) \end{aligned} $$

である。

これを積分すると，

$$ \begin{aligned} \int \frac{2x^3+3x^2-8x-13}{x^2-4},dx &= \int (2x+3),dx+\frac14\int \left( \frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2} \right),dx \\ &= x^2+3x+\frac14\log|x+2|-\frac14\log|x-2|+C \\ &= x^2+3x+\frac14\log\left|\frac{x+2}{x-2}\right|+C \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題の要点は，最初に多項式の割り算をすることである。分子の次数が高いまま部分分数分解を始めるのは非効率であり，まず

$$ \begin{aligned} \frac{2x^3+3x^2-8x-13}{x^2-4} &= 2x+3-\frac{1}{x^2-4} \end{aligned} $$

まで整理すると，残りは標準的な部分分数分解になる。

また，対数の部分は

$$ \frac14\log|x+2|-\frac14\log|x-2|

$$

の形でも，

$$ \frac14\log\left|\frac{x+2}{x-2}\right|

$$

の形でもよい。

答え

$$ \begin{aligned} \int \frac{2x^3+3x^2-8x-13}{x^2-4},dx &= x^2+3x+\frac14\log\left|\frac{x+2}{x-2}\right|+C \end{aligned} $$

したがって，$[⑧]$ は

$$ x^2+3x+\frac14\log\left|\frac{x+2}{x-2}\right|

$$

である。