解説

方針・初手

直線をそのまま扱うより，まず原点からその直線に下ろした垂線の足を求めるのが自然である。原点の対称点 (P) は，その垂線の足を中点としてもつので，足の座標が分かれば (P) の座標はすぐに求まる。

その後は (\theta) を媒介変数とみて計算し，(\theta) を (\dfrac{\pi}{2}-\theta) に置き換えることで対称性を見る。面積は媒介変数表示のまま積分するのが最も簡潔である。

解法1

**(1)**

直線は ((\cos\theta,0)), ((0,\sin\theta)) を通るから，その方程式は

$$ x\sin\theta+y\cos\theta=\sin\theta\cos\theta

$$

である。

この直線の法線ベクトルは ((\sin\theta,\cos\theta)) であるから，原点からこの直線に下ろした垂線の足を (H) とすると，

$$ H=(\lambda\sin\theta,\lambda\cos\theta)

$$

とおける。

(H) は直線上にあるので，

$$ (\lambda\sin\theta)\sin\theta+(\lambda\cos\theta)\cos\theta=\sin\theta\cos\theta

$$

すなわち

$$ \lambda(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=\sin\theta\cos\theta

$$

より，

$$ \lambda=\sin\theta\cos\theta

$$

である。したがって，

$$ H=(\sin^2\theta\cos\theta,\ \sin\theta\cos^2\theta)

$$

となる。

(H) は (OP) の中点であるから，

$$ P=(2\sin^2\theta\cos\theta,\ 2\sin\theta\cos^2\theta)

$$

よって，点 (P) の座標を ((x,y)) とすると，

$$ x=2\sin^2\theta\cos\theta,\qquad y=2\sin\theta\cos^2\theta

$$

である。

**(2)**

（1） の結果を

$$ x=\sin\theta\sin2\theta,\qquad y=\cos\theta\sin2\theta

$$

と書き直す。

すると，

$$ \frac{dx}{d\theta} =\cos\theta\sin2\theta+2\sin\theta\cos2\theta

$$

であるから，

$$ y\frac{dx}{d\theta} =\cos\theta\sin2\theta\left(\cos\theta\sin2\theta+2\sin\theta\cos2\theta\right)

$$

$$ =\cos^2\theta\sin^22\theta+2\sin\theta\cos\theta\sin2\theta\cos2\theta

$$

ここで

$$ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2},\qquad 2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta

$$

を用いると，

$$ y\frac{dx}{d\theta} =\frac{1+\cos2\theta}{2}\sin^22\theta+\sin^22\theta\cos2\theta

$$

したがって，

$$ y\frac{dx}{d\theta} =\frac{1}{2}\sin^22\theta,(1+3\cos2\theta)

$$

となる。

**(3)**

（1） の式で (\theta) を (\dfrac{\pi}{2}-\theta) に置き換えると，

$$ x\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) =2\cos^2\theta\sin\theta =y(\theta)

$$

$$ y\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) =2\cos\theta\sin^2\theta =x(\theta)

$$

となる。

よって，曲線 (C) 上の点 ((x,y)) に対して，点 ((y,x)) も再び (C) 上にある。したがって，曲線 (C) は直線 (y=x) に関して対称である。

**(4)**

(\theta=0,\dfrac{\pi}{2}) のとき，いずれも (P=(0,0)) となるので，曲線 (C) は閉曲線である。

また，(\theta) を (0) から (\dfrac{\pi}{2}) まで増やすと，この閉曲線は時計回りにたどられるので，その囲む面積を (S) とすると

$$ S=\int_0^{\pi/2} y\frac{dx}{d\theta},d\theta

$$

である。

（2） を用いると，

$$ S=\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\sin^22\theta,(1+3\cos2\theta),d\theta

$$

ここで (u=2\theta) とおくと (du=2,d\theta) だから，

$$ S=\frac{1}{4}\int_0^\pi \sin^2u,(1+3\cos u),du

$$

これを分けて計算すると，

$$ S=\frac{1}{4}\int_0^\pi \sin^2u,du+\frac{3}{4}\int_0^\pi \sin^2u\cos u,du

$$

後者は

$$ \int_0^\pi \sin^2u\cos u,du =\left[\frac{\sin^3u}{3}\right]_0^\pi =0

$$

であり，前者は

$$ \int_0^\pi \sin^2u,du=\frac{\pi}{2}

$$

だから，

$$ S=\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}

$$

となる。

解説

この問題の核心は，対称点を直接求めようとせず，まず原点から直線への垂線の足を求めることである。対称移動では「垂線の足が中点になる」という事実が最も使いやすい。

また，対称性は式を消去して曲線の方程式を求める必要はなく，(\theta) を (\dfrac{\pi}{2}-\theta) に置き換えるだけで十分に示せる。面積も，媒介変数表示のまま積分した方が計算が素直である。

答え

**(1)**

$$ x=2\sin^2\theta\cos\theta,\qquad y=2\sin\theta\cos^2\theta

$$

**(2)**

$$ y\frac{dx}{d\theta} =\frac{1}{2}\sin^22\theta,(1+3\cos2\theta)

$$

**(3)**

((x(\theta),y(\theta))) に対して

$$ x\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=y(\theta),\qquad y\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=x(\theta)

$$

が成り立つので，曲線 (C) は直線 (y=x) に関して対称である。

**(4)**

曲線 (C) によって囲まれる部分の面積は

$$ \frac{\pi}{8}

$$

である。