解説

方針・初手

（1） 被積分関数は

$$ \log \frac{x+2}{x+1}=\log(x+2)-\log(x+1)

$$

と分けると直接積分できる。

**(2)**

$n$ 乗根がついているので，まず対数を取る。すると和に直せて，その和はリーマン和として （1） の定積分に対応する。

解法1

**(1)**

$$ I=\int_0^1 \log \frac{x+2}{x+1},dx =\int_0^1 {\log(x+2)-\log(x+1)},dx

$$

とおく。

ここで

$$ \int \log(x+a),dx=(x+a)\log(x+a)-(x+a)+C

$$

であるから，

$$ \int_0^1 \log(x+2),dx =\left[(x+2)\log(x+2)-(x+2)\right]_0^1

$$

$$ = {3\log 3-3}-{2\log 2-2} =3\log 3-2\log 2-1

$$

また，

$$ \int_0^1 \log(x+1),dx =\left[(x+1)\log(x+1)-(x+1)\right]_0^1

$$

$$ ={2\log 2-2}-{1\log 1-1} =2\log 2-1

$$

したがって，

$$ I=(3\log 3-2\log 2-1)-(2\log 2-1) =3\log 3-4\log 2

$$

よって，

$$ \int_0^1 \log \frac{x+2}{x+1},dx =3\log 3-4\log 2 =\log \frac{27}{16}

$$

**(2)**

$$ a_n=\left\{\frac{(2n+1)(2n+2)\cdots(2n+n)}{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}\right\}^{1/n}

$$

とおく。

対数を取ると，

$$ \log a_n =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log \frac{2n+k}{n+k}

$$

ここで

$$ \frac{2n+k}{n+k} =\frac{2+\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}}

$$

であるから，

$$ \log a_n =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log \frac{2+\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}}

$$

となる。

$f(x)=\log \dfrac{x+2}{x+1}$ は $[0,1]$ で連続である。したがって，右辺は $f(x)$ のリーマン和であり，

$$ \lim_{n\to\infty}\log a_n =\int_0^1 \log \frac{x+2}{x+1},dx

$$

である。（1） より，

$$ \lim_{n\to\infty}\log a_n =3\log 3-4\log 2 =\log \frac{27}{16}

$$

ゆえに指数関数の連続性から，

$$ \lim_{n\to\infty} a_n =\exp\left(\log \frac{27}{16}\right) =\frac{27}{16}

$$

解説

この問題の要点は，（2） の積の極限をそのまま扱わず，まず対数を取って和に変えることである。すると

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)

$$

の形になり，定積分へ移行できる。

そのとき現れる関数が （1） の被積分関数そのものであるため，（1） を先に計算しておくと （2） はほぼそのまま処理できる。積の極限，$n$ 乗根，対数，リーマン和のつながりを押さえる典型題である。

答え

**(1)**

$$ \int_0^1 \log \frac{x+2}{x+1},dx =3\log 3-4\log 2 =\log \frac{27}{16}

$$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}\left\{\frac{(2n+1)(2n+2)\cdots(3n)}{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}\right\}^{1/n} =\frac{27}{16}

$$