基礎問題集

数学3 積分法「定積分・面積」の問題101 解説

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数学3積分法定積分・面積問題101

解説

分子に $\sin 2x=2\sin x\cos x$ があるので、$\sin^2 x$ をひとまとまりと見ると分母 $2+\sin^2 x$ と対応する。したがって、$t=\sin^2 x$ と置くのが自然である。

与えられた積分を

$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2x}{2+\sin^2 x},dx

とおく。

ここで

$$ \sin 2x=2\sin x\cos x

であるから、

$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{2\sin x\cos x}{2+\sin^2 x},dx

となる。

ここで

$$ t=\sin^2 x

とおくと、

$$ dt=2\sin x\cos x,dx

である。また、積分区間は

$$ x=0\ のとき\ t=\sin^2 0=0,\qquad x=\frac{\pi}{2}\ のとき\ t=\sin^2\frac{\pi}{2}=1

となる。

したがって、

$$ I=\int_0^1\frac{1}{2+t},dt

となり、これを積分して

$$ I=\left[\log(2+t)\right]_0^1 =\log 3-\log 2 =\log\frac{3}{2}

を得る。

この問題の要点は、分子の $\sin 2x$ をそのまま扱わず、$2\sin x\cos x$ に直して分母の $\sin^2 x$ と結びつけることである。すると $\sin^2 x$ の置換が直ちに見え、積分は基本形 $\int \frac{1}{a+t},dt$ に帰着する。

$$ [③]=\log\frac{3}{2}